LC-MS/MS 方法確效與量測不確定度教學

0. 先讀我：這門課在學什麼

🔰 先別緊張，用一個場景開始

想像你是食品檢驗實驗室的新進人員。今天桌上有一批進口蜂蜜，主管丟給你三個問題：

「這批蜂蜜到底有沒有驗出農藥？」
「如果有，是多少 ppm？這個數字可信嗎、誤差多大？」
「這個結果能不能拿去開罰單／退貨？萬一冤枉了人怎麼辦？」

這門課就是教你用統計證據回答這三個問題。你不需要是數學高手——每個公式我們都會拆開、配生活比喻，一步一步帶。看到公式先別跳過，先看它下面的「🔰 白話」或「🌰 比喻」框就懂了。

開始前，60 秒複習 4 個統計小詞

全課就反覆用到這幾個概念，先有感覺就好，不用背公式。

① 平均值 (mean, \(\bar x\))
同一個東西量很多次，全部加起來除以次數。就是「最有代表性的那個數」。

② 標準差 (standard deviation, s)
那些量測值「散得多開」。射靶時彈著點越集中、標準差越小＝越穩定。這是全課主角：它代表「隨機雜訊有多大」。

③ 常態分布（鐘形曲線）
量測值大多擠在平均值附近、越往兩邊越少，畫出來像一座鐘 🔔。隨機雜訊通常長這樣。

④ 機率 α、β
就是「犯錯的機會有多大」。α = 5% 白話講就是「大概每 20 次會錯 1 次」。

標準差 = 「量測散得多開」

常態分布（鐘形曲線）

方法確效（method validation）的核心，是用統計證據回答兩個問題：「這個訊號是不是分析物？」與「這個數值有多可信？」。四大參數彼此環環相扣，全部建立在同一條檢量線與其殘差之上：

檢量線

建立 \(y=a+bx\)，取得斜率 \(b\)、殘差標準差 \(S_{y,x}\)。判定線性與變異齊一性。

LOD / LOQ

用 \(S_{y,x}/b\) 換算「能否可靠偵測／定量」的最低濃度。

量測不確定度

GUM 合成各來源，給出結果的 \(\pm U\)（95%）。

CCα / CCβ

把 α、β 兩型錯誤明確化，用於法規判定（禁用物質）。

一個關鍵觀念（Evard 2016 Part I）：LOD 是用來「描述方法能力」（characterizing the method）；而要「判讀單一樣品」（interpreting a result）——例如興奮劑或禁藥檢驗——則必須用 CCα／CCβ，因為它們同時明確定義了偽陽性（α）與偽陰性（β）機率。用 LOD 去做個案判定會低估偽陰性風險。

名詞速查（點開）

LOD（Limit of Detection）偵測極限

LOQ（Limit of Quantification）定量極限

CCα（Decision Limit）決定極限

CCβ（Detection Capability）偵測能力

S_y,x 迴歸殘差標準差（residual SD / standard error of estimate）

GUM 量測不確定度表示指引（ISO/IEC Guide 98-3）

MRL / MRPL 最大殘留限量 / 最低要求性能限量

S/N 訊噪比；RSD 相對標準差

OLS / WLS 普通 / 加權最小平方迴歸

3R 帶額外霧化毛細管的 ESI 離子源

貫穿全課的示範檢量線資料集

本課程所有數值計算都用同一組資料（取自 Brüggemann 2010 引用的 DIN 32645 示範資料集）：\(I=10\) 個濃度點，每點 \(J=1\) 次量測。這讓「檢量線 → LOD/LOQ → 不確定度 → CCα/CCβ」的數字可以互相印證。

點	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(x\) 濃度	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50
\(y\) 訊號	3060	3522	3707	4280	5058	5510	5703	6205	7156	7178

已算好的迴歸統計量：
斜率 \(b=9661.9\)，截距 \(a=2480.9\)
殘差標準差 \(S_{y,x}=\hat\sigma=192.29\)
\(\bar x=0.275\)，\(S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2=0.20625\)
\(R^2=0.985\)，自由度 \(\nu=I\!-\!2=8\)

圖：檢量線與資料點（實線為 OLS 迴歸線）

1. 檢量線與最小平方迴歸

🔰 白話：檢量線就是儀器的「翻譯對照表」

LC-MS/MS 儀器其實不會直接告訴你濃度，它只會吐出一個訊號數字（例如波峰面積 = 58000）。這個數字本身沒意義——你需要一張「對照表」把訊號翻成濃度，這張表就是檢量線。

🌡️ 像溫度計的刻度：水銀柱的高度（訊號）本身只是一段長度，是旁邊的刻度（檢量線）讓它變成「25°C」。做法是：先拿已知濃度的標準品去量、記下對應訊號，畫成一條線；之後未知樣品量到訊號，就沿這條線反查濃度。

這條線通常是直線 \(y=a+bx\)：x = 濃度、y = 訊號。斜率 b＝「濃度每加一點、訊號跳多高」（就是靈敏度，線越陡越靈敏）；截距 a＝「濃度為 0 時的背景訊號」。下面的公式只是「怎麼用一堆點畫出最貼合的那條線」，看不懂公式沒關係，記住這個畫面即可。

🎬 動畫：量到的「訊號」如何反查成「濃度」

紅點：把量到的訊號（左）沿線反查，落到 x 軸就是樣品濃度。

1.1 線性模型與 OLS 估計式

假設回應值與濃度呈線性：

\[ y_i = a + b\,x_i + \varepsilon_i \]

其中 \(b\) 為斜率（＝方法的靈敏度 sensitivity）、\(a\) 為截距、\(\varepsilon_i\) 為隨機誤差。普通最小平方（OLS）估計式：

\[ b=\frac{\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i (x_i-\bar x)^2}=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{S_{xx}} \]

\[ a=\bar y - b\,\bar x \]

殘差標準差（residual standard deviation，也稱迴歸的標準誤 \(S_{y,x}\)）是後續一切 LOD／不確定度計算的核心：

\[ S_{y,x}=\hat\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum_i\left(y_i-\hat y_i\right)^2}{I-2}}\qquad(\hat y_i=a+bx_i) \]

分母的 \(I-2\)（本例 \(=8\)）是自由度：扣掉斜率與截距兩個估計參數。決定係數 \(R^2\) 只表示線性擬合好壞，不能單獨用來判斷是否「夠線性」——高 \(R^2\) 仍可能有系統性彎曲（見 Evard Part II，Fig.1）。

🎯 \(S_{y,x}\) 一句話：資料點不會乖乖全部落在線上，總會上下亂跳一點點。\(S_{y,x}\) 就是量「這些點平均離線多遠」＝你方法的雜訊大小。它越小＝方法越穩、越能看到低濃度。請記住這個數，後面的 LOD、LOQ、不確定度、CCα/CCβ 幾乎全都靠它算出來。

1.2 變異齊一性：Homoscedasticity vs Heteroscedasticity

⚖️ 白話（體重計比喻）：有些秤量很輕的東西很準，量很重時誤差就變大。分析儀器也一樣——濃度越高、訊號的隨機跳動通常越大。這種「誤差隨濃度變大」叫變異異質（hetero）；反之從頭到尾誤差都差不多叫變異齊一（homo）。LC-MS/MS 幾乎都是異質的。為什麼要在意？畫線時如果不理它，低濃度那端會被高濃度的大跳動「拉歪」，害你 LOD 算錯。名詞可以先記住這個畫面就好。

🎬 兩張檢量線比一比：每個濃度點量幾次，看誤差棒（散布）怎麼變

✅ 齊一（homoscedastic）

誤差棒從低到高濃度一樣長 → 直接用 OLS

⚠️ 異質（heteroscedastic）

誤差棒越往高濃度越長（喇叭狀）→ 用 WLS 加權

同一條檢量線，每個濃度重複量幾次得到「誤差棒」。LC-MS/MS 幾乎都是右圖：高濃度跳動大。若右圖硬用 OLS，那幾個大跳動的高濃度點會把線「拉歪」，害低濃度端（也就是 LOD 附近）算不準。

變異齊一（homoscedastic）指殘差變異不隨濃度改變；變異異質（heteroscedastic）指高濃度的變異較大。LC-MS/MS 資料幾乎總是異質的（Evard Part II）：訊號越大、絕對變異越大。Van Loco (2007) 更指出殘留分析中「異質性無所不在」。

如何檢查？

殘差對濃度作圖（residual plot）：若呈喇叭狀擴大 → 異質。
Hartley \(F_{\max}\) 檢定（需每點重複量測）：
\[ F_{\max}=\frac{s^2_{\max}}{s^2_{\min}} \]
比較變異最大與最小濃度點，超過臨界值即為異質。

異質時怎麼辦？

採加權最小平方（WLS），權重 \(w_i=1/s_i^2\)（或 \(1/C^2\)），讓低濃度點的影響力提高，使檢量線在低端更準。
或縮小濃度範圍到近似齊一的低段，再用簡單 OLS——這是 Evard 建議的實務作法。

⚠️ 若資料異質卻硬用 OLS：斜率／截距估計偏誤，且以單一濃度的標準差估 LOD 會高估或低估。Evard 指出 ISO 給的 CCα/CCβ 在異質資料下會有負偏誤。

1.3 選擇檢量點的實務準則（Evard Part II 決策樹）

至少 5 個檢量濃度，其中 ≥3 個清楚看得到波峰（S/N > 3）。
把空白（blank）納入檢量資料一起積分，以估計低濃度背景（ISO 11843 建議）。
整段濃度不要跨超過 2 個數量級，以維持線性與齊一。
先移除最高濃度點直到通過線性／齊一檢定，找出「齊一線性範圍」再估 LOD。
量測順序隨機化，避免儀器漂移造成系統性偏差。

1.4 互動計算器：OLS vs WLS 加權迴歸

貼上檢量線資料（每行 x, y，若有各濃度重複標準差可加第三欄 x, y, s），選擇權重方案，即時比較普通最小平方（OLS）與加權最小平方（WLS）算出的斜率、截距、殘差標準差與 LOD／LOQ。權重會自動正規化為平均值 1（因此全等權重時 WLS 完全退化回 OLS）。

權重方案 \(w_i\)：

OLS（\(w=1\)） \(1/x^2\) \(1/y^2\) \(1/s^2\)（需第三欄）

載入資料並按「計算」

教學重點：用「異質資料範例」比較兩方案——OLS 被高濃度的大散布拉偏，斜率與 LOD 失真；改用 \(1/x^2\) 或 \(1/y^2\) 加權後，低濃度點的影響力提高，斜率更接近真值、LOD 更合理。反之若資料本來就齊一，兩者幾乎相同（驗證 WLS 不會「無中生有」）。

2. 偵測極限 LOD 與定量極限 LOQ

🔰 白話：LOD 和 LOQ 差在哪？

想像你在昏暗的房間裡看東西：

LOD（偵測極限）＝「我確定那裡有個東西」的最低亮度。看得到有東西，但還數不清是幾個、多大。
LOQ（定量極限）＝「我不但看到，還能清楚報出數字」的最低亮度。通常比 LOD 高一截、光線更足。

🔊 另一個比喻（吵雜餐廳）：朋友講話要比背景噪音大到一定程度你才聽得清。分析上「聲音 vs 噪音」的比值就是訊噪比 S/N：慣例 S/N ≥ 3 當 LOD、S/N ≥ 10 當 LOQ。

為什麼結果不能只寫「未檢出」？因為「沒看到」不等於「沒有」——可能只是低於你的偵測能力。正確做法是寫「低於 LOD」並附上 LOD 數值，別人才知道你的方法能看到多低。

🎬 濃度越高，從「看不到」→「看得到」→「數得清」

同一組資料算出的 LOD＝0.066、LOQ＝0.199（見下方計算）。低於 LOD 只能說「未檢出」，過了 LOQ 才報數字＋不確定度。

2.1 定義與常見混淆

LOD＝在測試樣品中「能與零可靠區分」的最小濃度。困難在於：這個定義沒有明確說明要不要同時考慮偽陽性與偽陰性。Evard (Part I) 因此建議——嚴謹來說 LOD 應等同同時考量兩型錯誤，也就是接近 CCβ 的意義；許多指引只把 LOD 當成只考慮偽陽性（相當於 CCα），這會導致不同方法的 LOD 無法嚴格互相比較。

三段式判讀規則（Currie / Evard）：

結果 < LOD：報「低於 LOD」，並附上 LOD 值（不可只寫「未檢出」）。
LOD ≤ 結果 < LOQ：報「微量存在（trace）」，附 LOD 值。
結果 ≥ LOQ：報出定量數值，並附上其不確定度。

2.2 主要估計法（Evard Part I, Table 1 的濃縮版）

方法	公式	說明 / 假設
空白／加標標準差 (Group 1–2)	\(LOD=\bar y_0 + t\cdot S(y)\) 或 \(LOD=t\cdot S(x)\)	\(t\) 取 3 或 4.65；需 6–10 次重複；假設常態、齊一。相當於 CCα（僅顧偽陽性）。
迴歸殘差法 ICH (Group 4)★推薦	\(LOD=3.3\times\dfrac{S_{y,x}}{b}\) \(LOQ=10\times\dfrac{S_{y,x}}{b}\)	Evard 全篇建議法：用檢量線殘差 \(S_{y,x}\) 與斜率 \(b\)。免大量重複、給保守估計、與 ISO 11843-2 一致。
S/N 訊噪比	S/N ≥ 3 (LOD) S/N ≥ 10 (LOQ)	ICH 建議；但軟體演算的 S/N 受平滑、閾值影響，不建議作為主要估計法。
Cut-off（截斷法）	—	對多組不同濃度各測 ~10 次，取「全部（或 95%）都測得到」的最低濃度。穩健但工作量大。
ISO 11843-2	見第 4 節 CCα/CCβ	最嚴謹，同時給決定極限與偵測能力；可處理齊一與異質。

係數由來：\(t\approx1.64\)（單尾 95%，僅偽陽性）→ CCα；\(3.3\approx2\times1.64\)（同時 α、β 各 5%）→ CCβ 意義。3.3 這個係數正是把偽陽性與偽陰性都納入的近似。

2.3 完整計算示範（用貫穿資料集）

1 取迴歸統計量：\(S_{y,x}=192.29\)，\(b=9661.9\)。

2 先算靈敏度倒數：\(\dfrac{S_{y,x}}{b}=\dfrac{192.29}{9661.9}=0.01990\)（濃度單位）。

3 LOD \(=3.3\times0.01990=\boxed{0.0657}\)（濃度單位）。

4 LOQ \(=10\times0.01990=\boxed{0.199}\)（濃度單位）。

逐日變異（day-to-day variability）：Evard 指出只用單日資料估的 LOD，跨日 RSD 可高達 >50%！斜率與背景每天都在變。因此若 LOD 對判定很關鍵，應多日估計（建議 3 天、每天 2 次），並以 between-days LOD ＝ mean(LOD) + 1.65 × SD(LOD) 的 95% 分位數表示，或用管制圖持續監控。

3. ISO GUM 量測不確定度

🔰 白話：不確定度就是「大概 ±多少」

你在菜市場買半斤肉，攤販的秤顯示「300 克」。但你心裡有數——這台秤大概±5 克跑不掉。這個「±5 克」就是量測不確定度：它老實承認「我的數字不是絕對精準，真值大概落在這個範圍裡」。

🎯 誤差 vs 不確定度（射飛鏢）：誤差是「這一鏢離紅心多遠」（射完才知道，而且真值我們其實不曉得）；不確定度是「以我的技術，鏢大概會散布成多大一圈」——事前就能估的「散布範圍」。GUM 處理的是後者。

GUM 就是一套國際公認的標準算法，教你把各個來源的誤差（稱重、稀釋、回收率…）合起來，最後給一個 結果 ± U。ISO 17025 認證實驗室的報告一定要附這個 U。下面看起來公式很多，其實只在做一件事：把每個誤差換成同單位、平方相加、開根號、再乘 2。

🎯 「誤差」vs「不確定度」——射飛鏢圖

GUM 算的是那個「虛線圈」有多大，讓你誠實回報結果的可信範圍。

3.1 GUM 是什麼？為什麼需要它

GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，ISO/IEC Guide 98-3；等同 JCGM 100:2008）是量測不確定度評估的國際共通框架。它回答：「這個結果 \(\pm\) 多少，才有 95% 的把握涵蓋真值？」。任何 ISO 17025 認證實驗室的報告都必須附上擴充不確定度 \(U\)。

誤差 (error) ≠ 不確定度 (uncertainty)。誤差是「量測值 − 真值」（一個未知的固定值）；不確定度是「對真值所在區間的量化懷疑」，是一個以標準差表示的散布範圍。GUM 只處理後者。

3.2 GUM 五步驟流程

① 建立模型
寫出 \(Y=f(X_1,\dots,X_N)\) 量測方程式，列出所有輸入量。

② 評估各 \(u(x_i)\)
對每個輸入量給標準不確定度（Type A 或 B）。

③ 靈敏係數
求 \(c_i=\partial f/\partial x_i\)，把各來源換算到輸出單位。

④ 合成
算合成標準不確定度 \(u_c(y)\)。

⑤ 擴充
\(U=k\,u_c\)，通常 \(k=2\)（95%）。

3.3 Type A vs Type B 評估

白話：不確定度的來源只有兩種取得方式——Type A＝自己量很多次、用統計算出來（像量 10 次看散布）；Type B＝不用自己量、查來的（看儀器說明書、校正證書、規格書）。兩者地位一樣、最後會合在一起，命名只是告訴你「這個數字怎麼來的」。

Type A（統計法）

由重複量測的統計分析得到。標準不確定度＝平均值的標準差：

\[ u(\bar x)=\frac{s}{\sqrt{n}},\quad s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}} \]

例：精密度（repeatability）、檢量線迴歸的 \(S_{y,x}\)。

Type B（非統計法）

由其他資訊（證書、規格、經驗、分布假設）換算。常見換算：

矩形分布（如刻度、純度上下限 \(\pm a\)）：\(u=a/\sqrt{3}\)
三角分布：\(u=a/\sqrt{6}\)
校正證書給 \(U\) 與 \(k\)：\(u=U/k\)

3.4 合成與擴充不確定度

輸入量互相獨立時，用不確定度傳播律：

\[ u_c^2(y)=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i)=\sum_i c_i^2\,u^2(x_i) \]

若模型是純乘除形式 \(Y=\dfrac{X_1 X_2}{X_3}\dots\)，可用更方便的相對不確定度平方和：

\[ \frac{u_c(y)}{y}=\sqrt{\left(\frac{u(x_1)}{x_1}\right)^2+\left(\frac{u(x_2)}{x_2}\right)^2+\cdots} \]

最後乘上包含因子 \(k\) 得擴充不確定度（報告值）：

\[ U=k\cdot u_c(y),\qquad k=2\ \text{（約 95% 信賴水準，常態近似）} \]

結果表示為 \(Y = y \pm U\)（並註明 \(k=2\)）。

3.5 LC-MS/MS 農藥定量的不確定度預算（範例）

量測模型（回收率校正後濃度）：\( \displaystyle c=\frac{c_{cal}\cdot V \cdot f_{dil}}{m\cdot R} \)。假設某農藥結果 \(c=0.100\ \text{mg/kg}\)，各來源以相對標準不確定度列表：

不確定度來源	型別	估計方式	\(u(x_i)/x_i\)
檢量線內插 \(c_{cal}\)	A	迴歸預測 \(u(x_0)=\frac{S_{y,x}}{b}\sqrt{\tfrac1M+\tfrac1N+\tfrac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}\)	0.030
方法精密度（重複性）	A	\(s/\sqrt n\)，日內重複	0.040
回收率 \(R\)（偏差校正）	A/B	加標回收實驗散布	0.050
樣品秤重 \(m\)	B	天平證書 / 矩形分布	0.005
體積 \(V\)、稀釋 \(f_{dil}\)	B	量瓶＋移液器規格 \(a/\sqrt3\)	0.010
標準品純度	B	證書 \(\pm a\)，矩形 \(a/\sqrt3\)	0.006
合成相對不確定度 \(u_c/c=\sqrt{\sum(\cdot)^2}\)			0.072

合成：\(u_c/c=\sqrt{0.030^2+0.040^2+0.050^2+0.005^2+0.010^2+0.006^2}=0.0723\)

絕對合成：\(u_c=0.0723\times0.100=0.00723\ \text{mg/kg}\)

擴充（k=2）：\(U=2\times0.00723=0.0145\ \text{mg/kg}\)

報告：\(c = 0.100 \pm 0.014\ \text{mg/kg}\)（\(k=2\)，約 95%）

觀念連結：表中第一列的檢量線內插不確定度 \(u(x_0)\)，其形式與第 4 節 ISO 11843-2 的 CCα 公式完全同源——都是 \(\frac{S_{y,x}}{b}\sqrt{\frac1M+\frac1N+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}\)。它在 \(x_0=\bar x\) 時最小、往兩端變大（Brüggemann Fig.2）。這說明「不確定度」與「偵測極限」在數學上是同一棵樹。
在本示範資料集中，\(u(x_0)\) 在中心的最小值 \(=\frac{192.29}{9661.9}\sqrt{1+\frac1{10}}=0.0209\)。

「主要貢獻者」分析：把各列平方後看佔比——回收率(0.050²)與精密度(0.040²)合計佔總變異 >80%。GUM 預算最大價值就在於指出該優先改善哪個步驟（此例：改善回收率再現性最有效，而非買更準的天平）。

4. 歐盟 CCα（決定極限）與 CCβ（偵測能力）

🔰 白話：世界上有「兩種犯錯的方式」

這是全課最重要、也最好懂的觀念。想像醫院做一個疾病篩檢，可能出兩種錯：

偽陽性 = α 錯誤
其實沒病卻被判「有病」。→ 白白受驚、冤枉好人。對應檢驗：乾淨的樣品被誤判成違規。

偽陰性 = β 錯誤
其實有病卻被判「沒病」。→ 漏掉真正的病人。對應檢驗：真的含農藥卻沒驗出、放行了。

好方法要同時把這兩種錯壓低。CCα 和 CCβ 就是把這兩個機率寫死的兩條濃度線：

CCα（決定極限）＝「判定門檻線」。訊號要高過它我才敢喊「檢出！」，這樣冤枉好人的機率只有 α（例如 1%）。像海關 X 光機的警報門檻——設太低就一直誤報。
CCβ（偵測能力）＝「保證抓得到的濃度」。當農藥真的達到這個濃度，我的方法有 1−β（例如 95%）把握會驗出來、不會漏掉。

為什麼法規要用這個、不用 LOD？因為開罰單／銷毀貨品是可能上法院的重大決定，必須同時控管「冤枉好人」和「放走壞人」兩種風險。LOD 只顧到一半，所以歐盟 2002/657/EC 規定禁藥檢驗一定要用 CCα／CCβ。下面是把這兩條線精確算出來的公式。

4.1 兩型錯誤與假說檢定基礎

CCα／CCβ 出自歐盟 Commission Decision 2002/657/EC（配合 96/23/EC 指令），用於禁用物質確認方法。它的統計基礎就是假說檢定的兩型錯誤：

α 錯誤（偽陽性 false positive）

真正合規（乾淨）的樣品被誤判為不合規。CCα ＝決定極限：訊號高於此值，才能宣稱「檢出」，偽陽性機率僅 α。

β 錯誤（偽陰性 false negative）

真正含有分析物的樣品被誤判為乾淨。CCβ ＝偵測能力：分析物達此濃度時，方法能以 \(1-\beta\) 的把握測到它。

法規 α、β 設定值：對禁用物質（無許可限量）：α = 1%（更嚴防偽陽性冤枉）、β = 5%。對有 MRL 的物質：在 MRL 位置設 α = β = 5%。這就是為何 CCα/CCβ 的 \(t\) 值選擇隨應用而不同。

🕹️ 互動：拖動門檻，看 α 與 β 怎麼此消彼長

左邊藍鐘＝乾淨樣品的訊號分布；右邊紅鐘＝含農藥樣品。拖動判定門檻（CCα）：門檻往右→偽陽性 α 變小、但偽陰性 β 變大（漏抓）；門檻往左則相反。兩種錯不可能同時歸零，只能取捨。

判定門檻 CCα：樣品真實濃度：

α 偽陽性率

β 偽陰性率

檢出率 1−β

4.2 ISO 11843-2 計算公式（線性檢量、齊一）

CCα＝淨態變數的臨界值 \(x_c\)（決定極限）：

\[ CC\alpha = x_c = t_{0.95}(\nu)\,\frac{S_{y,x}}{b}\sqrt{\frac{1}{K}+\frac{1}{I\cdot J}+\frac{\bar x^{2}}{S_{xx}}} \]

CCβ＝最小可偵測值 \(x_d\)（偵測能力）：

\[ CC\beta = x_d = \delta\,\frac{S_{y,x}}{b}\sqrt{\frac{1}{K}+\frac{1}{I\cdot J}+\frac{\bar x^{2}}{S_{xx}}},\qquad \delta \approx t_{0.95}(\nu)+t_{0.95,\beta}(\nu)\approx 2\,t_{0.95}(\nu) \]

其中 \(K\)＝樣品重複量測數、\(I\)＝檢量濃度數、\(J\)＝每濃度製備數、\(\delta\) 為非中心 t 分布的非中心參數（non-centrality parameter）。當標準差隨濃度線性變化（異質）時，\(x_d\) 需迭代求解並改用加權迴歸（Van Loco 2007 的作法）。

與 2002/657/EC 及 DIN 32645 的關係（點開）

三套標準數學基礎相同（假說檢定 + α/β），只是符號與適用範圍不同（Brüggemann 2010 的結論）：

DIN 32645：設計給齊一濃度範圍；用 \(t\) 分布（樣本統計）。
ISO 11843-2：可含較寬範圍（用加權迴歸）；唯一明訂異質時要迭代；用非中心 \(t\)。
2002/657/EC：聚焦篩檢／確認判定，α/β 依應用而定；預測區間用常態分位數（母體統計）。

因此三者算出的臨界濃度會「相近但不完全相同」，差異來自 α/β 設定與 t vs 常態分位數的選擇。

4.3 CCα / CCβ 完整計算示範（同一資料集）

此例視為「無許可限量」，門檻 \(x_{threshold}\approx0\)。設 \(K=1,\ I\cdot J=10\)。

1先算共同的根號項：\(\sqrt{\tfrac1K+\tfrac1{IJ}+\tfrac{\bar x^2}{S_{xx}}}=\sqrt{1+0.1+\tfrac{0.275^2}{0.20625}}=\sqrt{1+0.1+0.3667}=\sqrt{1.4667}=1.2111\)。

2靈敏度項：\(\dfrac{S_{y,x}}{b}=\dfrac{192.29}{9661.9}=0.01990\)。故 \(\dfrac{S_{y,x}}{b}\times1.2111=0.02410\)。

3CCα（α=5%，\(t_{0.95}(8)=1.860\)）：\(=1.860\times0.02410=\boxed{0.0448}\)。
（α=1%，\(t_{0.99}(8)=2.896\) → CCα \(=0.0698\)。）

4CCβ（α=β=5%，\(\delta\approx2\times1.860=3.719\)）：\(=3.719\times0.02410=\boxed{0.0896}\)。
（α=β=1%，\(\delta\approx2\times2.896=5.793\) → CCβ \(=0.1396\)。）

結果解讀：

樣品換算濃度 > CCα (0.0448) → 可宣稱「檢出／不合規」，偽陽性 ≤5%。
當真實濃度達 CCβ (0.0896)，方法有 95% 把握測到它。
注意 CCβ > CCα：兩者間是「可能檢出但不保證」的灰區。
對照第 2 節：同資料的 ICH LOD＝0.0657，恰落在 CCα 與 CCβ 之間——印證 LOD 的意義介於「只顧偽陽性」與「兼顧偽陰性」之間。

圖：空白（左）與含物質樣品（右）的訊號分布；α、β 為兩尾錯誤面積

4.4 「不完美的結合」：量化 vs 定性判準（Van Loco 2007）

Van Loco 的關鍵發現：只用 ISO 11843-2 的純統計（量化）算出的 CCα/CCβ，在真實 LC-MS/MS 上可能低到不切實際，因為它沒考慮 MS 確認鑑定（identification）的定性判準。禁用物質確認需要 4 個鑑定點（1 母離子 + 2 子離子 ×1.5 分）。在很低濃度時，較弱的定性離子會消失、離子比（ion ratio）超出容許範圍。

實務結論：在計算出的（過低的）CCα/CCβ 濃度，定性判準常常無法滿足（離子比、RRT、S/N≥3）。因此 CCβ 必須用加標樣品（在 MRPL 及其以下逐級加標）實測驗證：要求在 CCβ 有 95% 案例、在 CCα 有 50% 案例能通過鑑定判準。這就是標題所說量化與定性判準的「不完美結合」。

Van Loco 實測數據對照（點開，nitroimidazoles）

化合物	MRPL	ISO 11843 CCβ	依鑑定判準 CCβ
MNZ	1	0	<0.25
DMZ	1	0.17	<0.5
RNZ	2	0.10	<1
HMMNI	2	0.13	<1

單位 μg/kg。可見純統計 CCβ（甚至算出 0）遠低於鑑定判準實測值，會嚴重高估方法能力。

4.5 加權迭代 CCα／CCβ 完整算例（Van Loco 2007）

當殘留分析資料為異質（heteroscedastic）時，臨界濃度處的標準差本身會隨濃度改變——而那個濃度正是我們要求的 CCα／CCβ。於是形成一個「答案出現在自己公式裡」的固定點問題（fixed-point），必須迭代求解。Van Loco 的做法：

🔁 迭代白話：就像拿計算機一直重複按同一個運算——先隨便猜一個答案代進去、算出新答案、再把新答案代回去…重複到數字幾乎不再變動為止，那個穩定下來的數就是解。工程上很常見，不可怕。下面的互動求解器會把每一輪的數字列出來給你看它怎麼「收斂」。

步驟一：擬合變異函數

把各濃度的標準差 \(S_i\) 對濃度 \(X\) 作線性迴歸，得變異函數：

\[ S(X)=a'+b'\,X \]

Van Loco 對 MNZ-OH（血漿中硝基咪唑代謝物）實測（Fig.1）：\(a'=0.0023\)、\(b'=0.0831\)、\(R^2=0.9924\)。權重取 \(w_i=1/S_i^2\)。

步驟二：迭代求解

Van Loco 加權式 (3)(4) 中含 \(S_{CC\alpha}=(a'+b'\cdot CC\alpha)\)（隨答案而變）。整理成迭代式（\(s_{cal}\) 為檢量線項貢獻的合成標準差）：

\[ CC\alpha_{k+1}=t\sqrt{\big(a'+b'\,CC\alpha_k\big)^2+s_{cal}^2} \]

\[ CC\beta_{k+1}=\delta\sqrt{\big(a'+b'\,CC\beta_k\big)^2+s_{cal}^2} \]

其中 \(\delta=t_{1-\alpha}+t_{1-\beta}\)（非中心參數）。反覆代入直到收斂。

本算例參數：採 MNZ-OH 真實變異函數（\(a'=0.0023,\ b'=0.0831\)），檢量線項 \(s_{cal}=0.026\)，\(t=2.9\)（\(\alpha=1\%\)）、\(\delta=t_{0.99}+t_{0.95}=2.9+1.86=4.76\)（\(\beta=5\%\)）。初始猜測 \(CC=0.05\)。迭代收斂結果與 Van Loco 論文 Table 1 完全一致：CCα ≈ 0.08、CCβ ≈ 0.14 μg/kg。

互動迭代求解器

a′ b′ s_cal 初始猜測 t (α) δ (α,β)

按「執行迭代」看收斂過程

與 4.4 節呼應的結論：就算用嚴謹的加權迭代把 CCα／CCβ 算得再精確，這仍只是量化（統計）結果。Van Loco 發現在這些低到 0.08／0.14 μg/kg 的濃度，MS 的定性鑑定判準（離子比、RRT、S/N≥3）常常無法通過。因此最終仍須以加標樣品在 MRPL 及其以下逐級驗證：在 CCβ 要有 95% 案例、在 CCα 要有 50% 案例通過鑑定，才是可執行的真實偵測能力。這就是「量化與定性判準的不完美結合」。

5. 學習測驗

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共 20 題（含 3 題生活觀念題 + 概念 + 計算）。作答後按下方「批改」看分數與詳解。計算題容許 ±5% 誤差。