普通化學

General Chemistry

第 2 延伸週:計算專題:化學式與標示判讀

核種符號・平均原子量・質量分率・同位素比值

Calculations: Reading a Label from a Chemical Formula

本課學習目標 Learning Objectives

由核種符號讀出質子、中子、電子數(含離子——這一步最常錯)
用加權平均算平均原子量,並能反推同位素豐度
由化學式算出某元素的質量分率,並雙向換算「化合物 mg ↔ 元素 mg」
比較不同鹽類的補充劑,說明「1000 mg」為什麼不等於「補到 1000 mg」
計算同位素比值 δ,並用質量平衡推導出蜂蜜摻假的判定式

本課的主線化學式是一份組成的合約。看懂它,包裝上的每一個數字你都能自己驗算一次——而這一課要練的,就是把那個驗算做到熟。

計算專題·食品營養錨點:哪一瓶鈣片最划算? Anchor Question

大哉問藥局貨架上五瓶鈣片,標示都寫著「每粒 1000 mg」,價格從 200 到 800 元不等:
碳酸鈣・磷酸三鈣・檸檬酸鈣・乳酸鈣・葡萄糖酸鈣
它們補到的鈣一樣多嗎?如果不一樣,差多少?要補到每日建議的 1000 mg 鈣,各要吃幾粒?

先猜猜看你覺得含鈣最多與最少的兩瓶,會差到幾倍?(1.5 倍?2 倍?還是更多?答案在本課最後一張)

PART 2b.1

核種符號:三個數字

Reading a Nuclide Symbol

質子・中子・電子・離子的電荷怎麼算

三個數字怎麼數 Three Numbers

^A_ZX^電荷

要什麼	怎麼算	為什麼
質子數	= Z(原子序)	元素的身分,不會變
中子數	= A − Z	質量數扣掉質子
電子數	= Z − 電荷	得失電子改變的是電子,不是質子

這一步幾乎每年都有人錯電荷是正的就要「減」。Fe³⁺ 是失去 3 個電子 → 電子數 = 26 − 3 = 23。很多人反射性地加上去。
記法:正電荷 = 少了電子(電子帶負電,少了負的就變正)。

例題 1:鐵劑裡的三價鐵 Example 1

寫出 ⁵⁶₂₆Fe³⁺ 的質子、中子、電子數。

解答:
質子 = Z = 26(這是鐵,永遠是 26)
中子 = A − Z = 56 − 26 = 30
電子 = Z − 電荷 = 26 − 3 = 23
合理性檢查:帶正電 → 電子一定比質子少。23 < 26,方向正確。
順帶一提:鐵劑裡有二價(Fe²⁺)與三價(Fe³⁺)兩種,吸收率不同——電荷不是寫好看的,它決定了這個離子在體內的行為。

例題 2:磷與鉀 Example 2

(a) ³¹₁₅P³⁻　(b) ⁴⁰₁₉K

解答:
(a) 質子 15、中子 31 − 15 = 16、電子 15 − (−3) = 18
　負電荷要「減一個負數」= 加。磷酸根裡的磷就是這個狀態。
(b) 質子 19、中子 40 − 19 = 21、電子 19(中性原子)
　⁴⁰K 是天然存在的放射性同位素,約占鉀的 0.012%。香蕉、低鈉鹽(以 KCl 取代部分 NaCl)因此都有微量天然放射性——劑量遠低於任何健康顧慮,但它說明了一件事:同一種元素的不同同位素,化學行為相同,核性質可以完全不同。

例題 3:反過來寫 Example 3 — Working Backwards

某離子有 質子 30、中子 35、電子 28。寫出它的核種符號。

解答:
① 質子 30 → 查週期表 → Zn(鋅)
② A = 30 + 35 = 65
③ 電荷 = 質子 − 電子 = 30 − 28 = +2
　→ ⁶⁵₃₀Zn²⁺
三個數字互相決定,給任兩個就能推第三個。
易錯:第 ③ 步方向弄反,寫成 2−。判準:電子比質子少 → 帶正電。28 < 30,所以是 2+。

PART 2b.2

平均原子量:加權平均

Weighted Average

為什麼不是算術平均・正推與反推豐度

加權平均不是算術平均 Weighted, Not Arithmetic

平均原子量 = Σ (同位素質量 × 該同位素的豐度)

豐度用小數代入(75.76% → 0.7576),全部加起來要等於 1
答案一定落在最輕與最重的同位素之間,而且靠近豐度大的那一個
這就是為什麼週期表上的原子量不是整數

最常見的錯把兩個同位素的質量直接相加除以 2。氯若這樣算會得到 (34.97 + 36.97) ÷ 2 = 35.97,但實際是 35.45——因為 ³⁵Cl 占了四分之三。先問哪一個比較多。

例題 4:由豐度算平均(順向) Example 4

氯有兩種同位素:³⁵Cl 質量 34.96885、豐度 75.76%;³⁷Cl 質量 36.96590、豐度 24.24%。平均原子量?

解答:
34.96885 × 0.7576 = 26.4924
36.96590 × 0.2424 = 8.9605
相加 = 35.453
合理性檢查(先做這一步再按計算機):³⁵Cl 占約 3/4 → 答案應該明顯偏向 35。35.45 符合。
如果算出 35.97,就是用了算術平均。

例題 5:反推豐度(反向,較難) Example 5 — Working Backwards

銅的平均原子量 63.546,只有兩種同位素:⁶³Cu 質量 62.9296、⁶⁵Cu 質量 64.9278。各占多少?

解答:
設 ⁶³Cu 的豐度為 x,則 ⁶⁵Cu 為 (1 − x)
62.9296x + 64.9278(1 − x) = 63.546
62.9296x + 64.9278 − 64.9278x = 63.546
−1.9982x = −1.3818　→　x = 0.6915 = 69.15%
所以 ⁶³Cu 69.15%、⁶⁵Cu 30.85%
合理性檢查:63.546 比較靠近 62.93 → 輕的那個應該比較多。69% > 31%,正確。
固定套路:兩個未知但相加為 1 → 設成 x 與 (1 − x),就只剩一個未知數。

例題 6:淡出練習 Example 6 — Faded

鎂有三種同位素。已知 ²⁴Mg 78.99%(23.9850)、²⁵Mg 10.00%(24.9858)、²⁶Mg 11.01%(25.9826)。請先寫出算式再計算。

同位素	質量	豐度(小數)
²⁴Mg	23.9850	0.7899
²⁵Mg	24.9858
²⁶Mg	25.9826
		總和

解答:18.9457 + 2.4986 + 2.8607 = 24.305
檢查:豐度 0.7899 + 0.1000 + 0.1101 = 1.0000 ✓;答案應非常靠近 23.985(因為它占近八成)——24.305 符合。
三個同位素與兩個的做法完全一樣,只是多一項。難的從來不是同位素的數量,是有沒有先把豐度換成小數。

PART 2b.3

質量分率:化學式能算出「裡面有多少」

Mass Fraction

順向・反算・不同鹽類的比較

質量分率的三步 Three Steps

元素的質量分率 = 該元素在式中的總質量

化合物的莫耳質量 × 100%

① 由化學式算莫耳質量(有結晶水就要算進去,見第 4 週)
② 算該元素的總質量(注意下標:Ca₃ 要乘 3)
③ 相除 → 得到「每 100 g 化合物含幾 g 該元素」

為什麼這一步這麼重要包裝上寫的是化合物的重量,你身體要的是元素。兩者差的就是這個比例——而不同鹽類差很多。

例題 7:碳酸鈣的鈣(順向) Example 7

一粒碳酸鈣 CaCO₃ 錠標示 1000 mg。含元素鈣多少?(Ca 40.078、C 12.011、O 15.999)

解答:
① M(CaCO₃) = 40.078 + 12.011 + 3 × 15.999 = 100.09
② 鈣的質量分率 = 40.078 ÷ 100.09 × 100% = 40.04%
③ 1000 mg × 0.4004 = 400 mg 元素鈣
所以「1000 mg 碳酸鈣」補到的是 400 mg 鈣,不是 1000 mg。
碳酸鈣是所有鈣鹽裡含鈣比例最高的——記住 40% 這個數字,它是後面比較的基準。

例題 8:含結晶水的乳酸鈣 Example 8

乳酸鈣通常是五水合物 Ca(C₃H₅O₃)₂·5H₂O。一粒 1000 mg 含元素鈣多少?

解答:
① 無水部分 = 40.078 + 2 × (3×12.011 + 5×1.008 + 3×15.999) = 40.078 + 2 × 89.07 = 218.22
② 加上結晶水:218.22 + 5 × 18.015 = 308.29
③ 40.078 ÷ 308.29 × 100% = 13.00% → 1000 mg 含 130 mg 鈣
如果忘了把 5 個水算進去:40.078 ÷ 218.22 = 18.37% → 算出 184 mg,高估了 41%。
這正是第 4 週「標準品與結晶水」的同一個陷阱,只是換到營養標示上——看到 ·nH₂O 就要問:這個水在不在莫耳質量裡?

例題 9:反算(最常卡的方向) Example 9 — Working Backwards

醫師建議每日補充 500 mg 元素鈣。若吃碳酸鈣錠,要吃多少毫克的碳酸鈣?

解答:
順向是「化合物 × 分率 = 元素」,反向就把分率除回去:
碳酸鈣需要量 = 500 mg ÷ 0.4004 = 1249 mg(約 1.25 g)
合理性檢查(這一步比計算重要):化合物裡只有四成是鈣,所以要吃的化合物一定比 500 mg 多。
算出比 500 小(例如 500 × 0.4 = 200),就是方向弄反了——這是本課最常見的錯。
換成葡萄糖酸鈣呢?500 ÷ 0.0931 = 5369 mg,超過 5 公克。這就是為什麼補充劑的劑型與鹽類選擇是有現實限制的。

例題 10:五瓶鈣片一起比 Example 10 — The Whole Shelf

鈣鹽	莫耳質量	元素鈣 %	每 1000 mg 含鈣	補 500 mg 需要
碳酸鈣 CaCO₃	100.09	40.04%	400 mg	1249 mg
磷酸三鈣 Ca₃(PO₄)₂	310.17	38.76%	388 mg	1290 mg
檸檬酸鈣 Ca₃(C₆H₅O₇)₂	498.43	24.12%	241 mg	2073 mg
乳酸鈣 ·5H₂O	308.29	13.00%	130 mg	3846 mg
葡萄糖酸鈣 Ca(C₆H₁₁O₇)₂	430.37	9.31%	93 mg	5369 mg

同樣寫「1000 mg」,差 4.3 倍碳酸鈣 400 mg vs 葡萄糖酸鈣 93 mg。比價之前要先換算成元素鈣,否則比的是兩個不同的東西。正規標示會另外標「元素鈣 XXX mg」——那一欄才是你要看的。

例題 11:換一個元素,同一套方法 Example 11 — Iron

鐵劑也是一樣的問題。成人女性鐵的建議攝取量約 15 mg/日。

鐵鹽	莫耳質量	元素鐵 %	補 15 mg 需要
反丁烯二酸亞鐵 FeC₄H₂O₄	169.90	32.87%	46 mg
硫酸亞鐵 FeSO₄·7H₂O	278.01	20.09%	75 mg
葡萄糖酸亞鐵 Fe(C₆H₁₁O₇)₂	446.14	12.52%	120 mg

注意硫酸亞鐵的結晶水七水合硫酸亞鐵有 7 個結晶水,占了莫耳質量的 45%。忘了算進去會把含鐵率算成 36.8%,高估將近一倍。

建議攝取量依年齡、性別與生理狀況不同,請以國人膳食營養素參考攝取量(DRIs)現行版本為準。

PART 2b.4

同位素比值:δ 的計算

Calculating Delta Values

正推・反推・混合的質量平衡・推導判定式

δ 的定義與兩個方向 The Delta Notation, Both Ways

δ¹³C (‰) = [ (R_樣品 / R_標準) − 1 ] × 1000　　R = ¹³C/¹²C,R_VPDB = 0.0111802

方向	怎麼做
正推(有 R 求 δ)	相除 → 減 1 → 乘 1000
反推(有 δ 求 R)	R = R_標準 × (1 + δ/1000)

兩個最常漏的步驟① 忘了減 1 → 會得到 1000 左右的數字(比值本身接近 1)。
② 忘了乘 1000 → 會得到 −0.025 而不是 −25‰。
合理性檢查:有機物的 δ¹³C 幾乎都落在 −5 到 −35‰ 之間。算出正值或上百,一定是漏了一步。

例題 12:由 R 算 δ(順向) Example 12

某蜂蜜樣品測得 R = ¹³C/¹²C = 0.0109000。δ¹³C 為何?

解答:
0.0109000 ÷ 0.0111802 = 0.97494
(0.97494 − 1) × 1000 = −25.1‰
判讀:落在 C3 植物的範圍(−22 ~ −30‰)→ 看起來是純的 C3 蜜源。
合理性檢查:R 比標準小 → δ 一定是負的。方向正確。

例題 13:由 δ 算 R(反向) Example 13 — Working Backwards

純甘蔗糖的 δ¹³C 約 −11.0‰。它的 R 是多少?

解答:
R = 0.0111802 × (1 + (−11.0/1000)) = 0.0111802 × 0.98900 = 0.0110572
與上一題比較:蜂蜜 0.0109000、甘蔗糖 0.0110572——兩者只差 1.4%,卻足以判定摻假。
這就是為什麼要用 δ 而不是直接報 R:把「小數點後第四位的差異」放大成「相差 14 個千分點」,人才讀得出來。δ 記號的存在理由,就是讓微小差異變得可比較。

例題 14:混合之後會變成多少 Example 14 — Mass Balance

把 13.1% 的甘蔗糖(−9.7‰)摻進 δ¹³C = −25.0‰ 的真蜜。混合後的 δ 是多少?

解答(碳的質量平衡):
δ_混 = 0.131 × (−9.7) + 0.869 × (−25.0) = −1.27 + (−21.73) = −23.0‰

現在把它反過來解 —— 這就是判定式的來源:
設摻入的 C4 糖比例為 x,真蜜原本的值用蛋白質的 δ 代表:
　δ_蜂蜜 = x·δ_C4 + (1 − x)·δ_蛋白
　δ_蜂蜜 − δ_蛋白 = x(δ_C4 − δ_蛋白)
　x = (δ_蛋白 − δ_蜂蜜) ÷ (δ_蛋白 − (−9.7))
這正是 AOAC 998.12 的公式。它不是一條要背的式子,它是一行質量平衡解出來的——忘了就重推一次。

例題 15:綜合判定 Example 15 — Putting It Together

兩瓶蜂蜜送驗,結果如下。哪一瓶不合格?(C4 糖 > 7% 判定摻假)

樣品	蜂蜜 δ¹³C	蛋白質 δ¹³C
甲	−25.3‰	−25.0‰
乙	−22.0‰	−25.5‰

解答:
甲:(−25.0 − (−25.3)) ÷ (−25.0 + 9.7) = 0.3 ÷ (−15.3) = −2.0% ≈ 0 → 合格
　(負值不是「負的摻假」,是量測誤差落在 0 附近的正常結果)
乙:(−25.5 − (−22.0)) ÷ (−25.5 + 9.7) = (−3.5) ÷ (−15.8) = 22.2% → 遠超過 7%,判定摻假
注意乙的關鍵訊號:蜂蜜比它自己的蛋白質高了 3.5‰。真蜜的兩個值應該幾乎一樣——差距本身就是證據,不必先知道蜜源是什麼。
判定門檻與方法細節請以主管機關公告的檢驗方法為準。

隨堂快問 ①:化學式與標示判讀 Quick Check

個人作答 2 分鐘 → 與鄰座說明你的理由 → 全班表決 → 看解答

1⁶⁵₃₀Zn²⁺ 的電子數是?
A 30B 32C 28D 35

2一粒「檸檬酸鈣 1000 mg」(元素鈣 24.12%)與一粒「碳酸鈣 1000 mg」(40.04%)。要補到同樣的鈣,檸檬酸鈣要吃幾粒?
A 一樣多B 約 1.7 倍C 約 0.6 倍D 約 2.4 倍

3某人算「要補 500 mg 元素鈣需要多少碳酸鈣」,得到 200 mg。請指出他錯在哪裡,並說明用什麼方法可以在按計算機之前就發現。

解答:

1. C — 電子 = 質子 − 電荷 = 30 − 2 = 28。選 B 是把電荷加上去——最常見的錯。記法:正電荷代表少了電子,所以要減。選 D 是把中子數(35)當成電子數。

2. B — 40.04 ÷ 24.12 = 1.66 ≈ 1.7 倍。選 C 把比值倒過來。方向檢查:含鈣比例低的那一種,要吃得比較多。檸檬酸鈣的比例較低,所以粒數應該大於 1。

3. 他把除法做成了乘法 — 正確是 500 ÷ 0.4004 = 1249 mg;他算的是 500 × 0.4 = 200 mg。
按計算機之前就能發現的方法:先問方向。碳酸鈣裡只有四成是鈣 → 要拿到 500 mg 鈣,吃進去的化合物一定超過 500 mg。算出 200 mg(比 500 還小)當場就矛盾。這是本課最重要的一個習慣,而且它適用於每一個雙向換算:先判斷答案應該變大還是變小,再開始算。第 1 週的密度(油比水輕 → 同質量體積更大)、第 4 週的稀釋(濃度變 1/5 → 體積變 5 倍)用的都是同一招。

回到本週的錨點 Anchor Answered

第 2 延伸週開場問的是:五瓶都寫 1000 mg 的鈣片,哪一瓶最划算?

用這一週的化學回答

「1000 mg」指的是整個化合物的質量,不是鈣的質量。要知道補到多少鈣,得由化學式算出鈣的質量分率。
五瓶的元素鈣含量:碳酸鈣 40.04%、磷酸三鈣 38.76%、檸檬酸鈣 24.12%、乳酸鈣(五水合)13.00%、葡萄糖酸鈣 9.31%。
所以「先猜猜看」的答案是 4.3 倍 —— 同樣一粒 1000 mg,碳酸鈣給你 400 mg 鈣,葡萄糖酸鈣只給 93 mg。
但「含鈣高」不等於「最好」:碳酸鈣需要胃酸才能溶解,檸檬酸鈣不需要,適合胃酸不足者。含量與吸收率是兩個問題,這一課只解決了第一個——但沒有第一個,第二個根本無從比較。

這個情境幫你理解的化學是化學式是一份可以驗算的合約。本課練的四種計算——數三個數字、加權平均、質量分率、比值與質量平衡——共同的骨架只有一句:先弄清楚「這個數字量的是什麼」,再決定乘還是除。

接下來在哪裡會再用到:營養學補充劑的元素含量與 DRIs 判讀　食品分析同位素比值鑑別與摻假判定　食品化學添加物的化學式與有效成分　分析化學標準品的莫耳質量與檢量線

常見錯誤提醒 Common Pitfalls

錯誤	長什麼樣子	怎麼當場發現
把化合物當元素	「1000 mg 碳酸鈣 = 1000 mg 鈣」	看標示有沒有另標「元素鈣」
離子的電子數	Fe³⁺ 算成 29 個電子	正電荷 → 電子一定比質子少
算術平均	Cl 算成 35.97	先問哪一個同位素比較多
反算方向弄反	500 mg 鈣 → 算成 200 mg 碳酸鈣	化合物一定比元素重
忘了結晶水	乳酸鈣算成 18.37%	看到 ·nH₂O 就問水算進去了沒
δ 漏一步	得到 −0.025 或 +975	δ 應落在 −5 ~ −35‰

六個檢查有一個共同點它們都在按計算機之前就能做。先判斷答案該落在哪個範圍、該變大還是變小——這比算得快重要得多。

本節重點總結 Summary

核種符號:質子 = Z、中子 = A − Z、電子 = Z − 電荷(正電荷要減)
平均原子量是加權平均;兩個未知但相加為 1 → 設成 x 與 (1 − x)
質量分率 = 元素總質量 ÷ 莫耳質量;有結晶水一定要算進去
順向乘、反向除——而且反向的答案一定比較大
δ = (R/R_標準 − 1) × 1000;反推是 R = R_標準(1 + δ/1000)
混合後的 δ 是質量平衡;把它反解就得到摻假判定式,不必背
「1000 mg」不等於「補到 1000 mg」——五種鈣鹽差 4.3 倍

帶走一句話先問這個數字量的是什麼,再決定乘還是除。

重要名詞中英對照 Key Terms

中文	English
核種符號	nuclide symbol
質量數	mass number
加權平均	weighted average
同位素豐度	isotopic abundance
質量分率	mass fraction

中文	English
元素鈣／元素鐵	elemental calcium / iron
莫耳質量	molar mass
質量平衡	mass balance
千分率	per mil (‰)
摻假	adulteration

課後練習(一):符號、平均與分率 Homework I

基本題① 寫出 ¹²⁷I⁻、²⁴Mg²⁺、³²S²⁻ 的質子、中子、電子數。
② 溴有 ⁷⁹Br(78.9183)與 ⁸¹Br(80.9163),平均原子量 79.904。求兩者的豐度。
③ 算出 MgO、ZnSO₄·7H₂O、KI 中鎂、鋅、碘的質量分率。

應用題④ 市售鋅片標示「葡萄糖酸鋅 100 mg」。查出化學式,算出它含多少元素鋅。
⑤ 碘鹽以碘酸鉀 KIO₃ 強化。若要每公斤鹽含 20 mg 碘,應加入多少毫克的碘酸鉀?(這是反算題)

課後練習(二):同位素比值 Homework II

計算題① 某玉米樣品 R = 0.0110450,求 δ¹³C,並判斷它是 C3 還是 C4 植物。
② 某果汁的 δ¹³C = −26.5‰,求它的 R。
③ 把 25% 的玉米糖漿(−10.5‰)摻進 δ = −26.0‰ 的蘋果汁,混合後的 δ 是多少?

判讀題④ 某蜂蜜:蜂蜜 δ = −21.8‰、蛋白質 δ = −25.2‰。算出 C4 糖比例並判定是否合格(門檻 7%)。
⑤ 承上題,若這瓶蜂蜜的蛋白質 δ 測不出來(含量太低),你還能不能判定?請說明理由——這一題沒有數字要算,但它才是這一節真正要問的事。

下一段:第 3 週　莫耳與化學式本課把化學式讀成比例,下週要把比例變成可以秤出來的公克——那個橋樑叫做莫耳。