常態分配與信賴區間 Normal Distribution, Z & t, Confidence Interval

主管問：「這批油的酸價標準上限是 4，你測出 3.8，過不過？」你心裡沒底——因為你只測了 3 次。這一章教你用「區間」代替「猜測」。

2.1 常態分配：隨機誤差的長相

只受隨機誤差影響的重複量測，數據會呈鐘形分布。它的特性用「標準差倍數」就能記憶：

圖 2-1 ±1σ 內約 68%、±2σ 內約 95%、±3σ 內約 99.7% 的數據

# R 直接算常態機率：pnorm(上界) - pnorm(下界)
pnorm(1) - pnorm(-1)    #> 0.6827  (68%)
pnorm(2) - pnorm(-2)    #> 0.9545  (95%)
pnorm(3) - pnorm(-3)    #> 0.9973  (99.7%)

[1] 0.6826895
[1] 0.9544997
[1] 0.9973002

2.2 Z 值：大樣本（n>30）時的信賴區間

課本 Table 4.2 的 80% 那一欄列的是 1.29；R 的 qnorm(0.90) 精確值為 1.2816（四捨五入約 1.28），差異來自課本查表時的捨入，不是計算錯誤。

課本範例：假設水分測了 n=25 次，x̄=64.72、SD=0.2927：
CI = 64.72 ± 1.96 × 0.2927/\(\sqrt{25}\) = 64.72 ± 0.115%。 其中 SD/\(\sqrt{n}\) 這一項稱為平均數標準誤（SEM）——它才是「平均值」的不準度， 比單次量測的 SD 小 \(\sqrt{n}\) 倍。

2.3 t 值：小樣本才是食品分析的日常

實務上我們只做 3~5 次重複。小樣本的 SD 本身不可靠，必須改用 t 分布（較胖的鐘形）：

水分範例（n=4，df=3，95%）：t = 3.18
CI = 64.72 ± 3.18 × 0.2927/\(\sqrt{4}\) = 64.72 ± 0.465%，即 64.255 ~ 65.185% （課本用查表值 t=3.18 手算得 0.465；R 用完整精度 t=3.182446 得 0.466，即 64.249 ~ 65.181%——差異只是捨入，下文一律採 R 的完整精度結果）。
注意：同樣的數據，小樣本的 ±0.466% 遠寬於 n=25 時的 ±0.115% —— 這就是「重複次數的價值」。

moisture <- c(64.53, 64.45, 65.10, 64.78)
xbar <- mean(moisture); s <- sd(moisture); n <- length(moisture)

qt(0.975, df = 3)              #> 3.182446  (=課本 t 值 3.18)
half <- qt(0.975, n-1) * s / sqrt(n)
round(half, 3)                 #> 0.466
round(xbar + c(-1,1) * half, 3)
#> 64.249 65.181   -> 報告：64.72 ± 0.47 % (95%, n=4)

# 標準誤 SEM
s / sqrt(n)                    #> 0.1463

[1] 3.182446
[1] 0.466
[1] 64.249 65.181
[1] 0.1463159

2.4 動手驗證：「95% 信心」是真的嗎？

我們讓電腦重複做 1000 次實驗（每次抽 4 個數據、算一個 95% CI）， 數數看有多少次 CI 真的蓋住真值 65.05%：

set.seed(2024)                 # 固定亂數種子，結果可重現
true_mu <- 65.05
hits <- 0
for (i in 1:1000) {
  samp <- rnorm(4, mean = true_mu, sd = 0.293)  # 虛擬 4 次量測
  ci <- mean(samp) + c(-1,1) * qt(0.975,3) * sd(samp)/sqrt(4)
  if (true_mu >= ci[1] && true_mu <= ci[2]) hits <- hits + 1
}
hits / 1000
#> [1] 0.944   -> 94.4%，接近 95%：理論兌現！

[1] 0.944

📊 Excel 也會算：信賴區間