有效數字與異常值檢定 Significant Figures, Dixon Q-test & Grubbs Test

學長的報告寫 64.7201359%，被退件；學姊把一個「怪數據」刪掉，被告學術不端。兩個地雷，這一章教你怎麼避開。

5.1 有效數字：報告的誠實度

有效數字 = 所有確定的位數 + 最後一位有疑義的位數。 多報是膨風、少報是浪費。Nielsen 的規則：

運算取位：乘除看「有效位數最少」的項；加減看「小數位數最少」的項。 先算完再一次四捨五入。

5.2 異常值：能不能刪？

Nielsen 的答案很明確：「非常罕見（very rarely）」，且必須經過審慎評估。 為了讓精密度變漂亮而刪數據＝扭曲結果。客觀工具是 Dixon Q 檢定：

課本範例：水分 4 重複 64.78、64.53、64.45、55.31?
Q = (64.45 − 55.31)/(64.78 − 55.31) = 9.14/9.47 = 0.97 > 0.76（n=4）→ 可捨棄。

習題 3（乾物質）：88.62、88.74、89.20、82.20?
Q = 6.42/7.00 = 0.917 > 0.76 → 可捨棄。捨棄後 mean = 88.85、SD = 0.31 （捨棄前 mean = 87.19、SD = 3.34——差很多！這就是為什麼檢定要客觀）。

# --- Dixon Q 檢定（90% 信賴）---
q_crit <- c("3"=.94, "4"=.76, "5"=.64, "6"=.56,
            "7"=.51, "8"=.47, "9"=.44, "10"=.41)

q_test <- function(x) {
  x <- sort(x); n <- length(x)
  gap <- max(x[2]-x[1], x[n]-x[n-1])   # 兩端誰更可疑
  Q <- gap / (x[n] - x[1])
  list(Q = round(Q,3), Qcrit = q_crit[[as.character(n)]],
       reject = Q > q_crit[[as.character(n)]])
}
q_test(c(64.78, 64.53, 64.45, 55.31))
#> $Q [1] 0.965   $Qcrit [1] 0.76   $reject [1] TRUE

dry <- c(88.62, 88.74, 89.20, 82.20)
q_test(dry)                            # Q=0.917 > 0.76 -> TRUE
dry2 <- dry[-which.min(dry)]           # 捨棄後重算
round(c(mean=mean(dry2), SD=sd(dry2)), 2)
#>  mean    SD
#> 88.85  0.31

# --- 95% 信賴區間（捨棄前 vs 後）---
round(mean(dry) + c(-1,1)*qt(.975,3)*sd(dry)/2, 2)  # 87.19±5.31
round(mean(dry2) + c(-1,1)*qt(.975,2)*sd(dry2)/sqrt(3), 2)

$Q
[1] 0.965

$Qcrit
[1] 0.76

$reject
[1] TRUE

$Q
[1] 0.917

$Qcrit
[1] 0.76

$reject
[1] TRUE

 mean    SD 
88.85  0.31 
[1] 81.88 92.50
[1] 88.09 89.61

5.3 進階：Grubbs 檢定

Q 檢定只看「與最近鄰的距離」，一次只適合處理一個可疑值。 Grubbs 檢定用「離群距離 ÷ 標準差」：

對乾物質數據：G = |82.20 − 87.19|/3.34 = 1.496 > 1.481（n=4, 95% 雙尾）→ 勉強超過臨界值，判定為異常值；但差距極小，實務上應優先查實驗紀錄找原因，而不是只憑檢定剔除。

# Grubbs 臨界值（t 分布近似公式）
grubbs_crit <- function(n, alpha = 0.05) {
  t2 <- qt(alpha/(2*n), df = n-2)^2
  ((n-1)/sqrt(n)) * sqrt(t2/(n-2+t2))
}
round(sapply(4:8, grubbs_crit), 3)
#>  n=4    n=5    n=6    n=7    n=8
#> 1.481  1.715  1.887  2.020  2.127

G <- max(abs(dry - mean(dry))) / sd(dry)
G                                  #> 1.496
G > grubbs_crit(4)                 #> TRUE -> 82.20 是異常值

[1] 1.481 1.715 1.887 2.020 2.127
[1] 1.495783
[1] TRUE

📊 Excel 也會算：異常值檢定與有效數字