食品分析數據品管Statistics & Measurement Uncertainty
Part 2 量測不確定度（QUAM §8–§9）／第 8 章

合成、擴展不確定度與符合性判定 Combining Rules, Expanded U, Reporting & Compliance

所有誤差來源都評估完了，現在只剩最後一步：合起來、乘上 k、寫成一行專業報告，然後回答客戶的終極問題——合不合格？

🔑 課前暖身 前面把每個零件的誤差都算好了，本章把它們合體：加減用平方和開根號、乘除用相對比例。 最後回答老闆最愛問的問題——「到底合不合格？」（結果 ± U 對上法規限值的四種情境）
本章新詞先認識：合成不確定度 uc＝所有來源合體後的總散布；擴展不確定度 U＝uc 乘 k=2 的 95% 區間；符合性＝結果±U 與限值的相對位置。
名詞卡住了？回 Ch0 名詞圖鑑 查白話解釋與比喻。
學習目標

8.1 一般式：不確定度傳播法則

uc(y) = √ Σ [ci · u(xi)]²， 其中敏感度係數 ci = ∂y/∂xi QUAM §8.2.2：每個輸入量的 u 經「偏微分 × u」轉換成對 y 的貢獻後，平方相加再開根號

偏微分聽起來可怕，但絕大多數情況會退化成兩條簡單規則：

8.2 兩條黃金規則

Rule 1：加減模型
y = p + q − r + …
uc(y) = \(\sqrt{(u(p)² + u(q)² + u(r)² + …)}\)
直接用各項的絕對 u。
Rule 2：乘除模型
y = p·q/r·…
uc(y)y = \(\sqrt{( (u(p)/p)² + (u(q)/q)² + … )}\)
用各項的「相對 u」，合成完再乘回 y。

QUAM §8.2.8 例題 1：y = p − q + r = 5.02 − 6.45 + 9.04 = 7.61， u = \(\sqrt{(0.13² + 0.05² + 0.22²)}\) = 0.26。
例題 2：y = op/qr = 2.46×4.32/(6.38×2.99) = 0.56， 相對合成 \(\sqrt{(0.0081²+0.0301²+0.0172²+0.0234²)}\) = 0.043 → uc = 0.024。

🧩 混合式模型 遇到 y=(o+p)/(q+r) 這種混合式，先分別用 Rule 1 算出分子、分母的中間 u， 再用 Rule 2 合成（QUAM §8.2.7）。

8.3 擴展不確定度 U = k · uc

情況k說明
一般情況（QUAM §8.3.3）2約 95% 信賴；報告必須註明 k 值
uc 被「自由度 <6 的 Type A 項」主導t 值用該項的 df 查雙尾 t（95%），如 df=4 → k=2.8

QUAM §8.3.4 稱重例：uc = \(\sqrt{(0.01² + 0.08²)}\) = 0.081 mg， 由 5 次重複的 sobs=0.08 主導（df=4）→ k = t0.975,4 = 2.8 → U = 2.8 × 0.081 = 0.23 mg。

8.4 報告格式（QUAM §9）

擴展不確定度格式：
總氮：(3.52 ± 0.14) g/100g
所述不確定度為擴展不確定度，以涵蓋因子 k=2 計算，信賴水準約 95%。

標準不確定度格式：
總氮：3.52 g/100g，標準不確定度 0.07 g/100g

8.5 符合性判定（QUAM §9.7, Figure 2）

符合性判定四情境
圖 8-1 結果 ± U 與法規上限 L 的四種關係（保守決策規則）
情境位置保守決策規則判定
(i)結果 − U > L（整個區間超標）不符合
(ii)結果 > L 但 (result−U) < L灰色地帶（無法判定）
(iii)結果 < L 但 (result+U) > L灰色地帶
(iv)結果 + U ≤ L（整個區間合格）符合
⚖️ 決策規則要事先講好 「測值超限即不符」與「result−U 超限才不符」結論可能相反。 ISO/IEC 17025:2017 要求實驗室與客戶事先約定決策規則（詳見 EURACHEM 《Use of uncertainty information in compliance assessment》）。
# ---- Rule 1：QUAM 例題 1 ----
p <- 5.02; q <- 6.45; r <- 9.04
y <- p - q + r                       #> 7.61
uc1 <- sqrt(0.13^2 + 0.05^2 + 0.22^2)
round(uc1, 2)                        #> 0.26

# ---- Rule 2：QUAM 例題 2 ----
y2 <- 2.46*4.32/(6.38*2.99)          #> 0.557
rel <- sqrt((0.02/2.46)^2 + (0.13/4.32)^2 +
            (0.11/6.38)^2 + (0.07/2.99)^2)
y2 * rel                             #> 0.0237 -> 0.024

# ---- t 值 k：稱重例 ----
uc_w <- sqrt(0.01^2 + 0.08^2)        #> 0.0806
qt(0.975, 4)                         #> 2.776 (QUAM 取 2.8)
2.8 * uc_w                           #> 0.23 mg

# ---- 符合性判定函數 ----
judge <- function(result, U, L) {
  if (result - U > L)       "不符合"
  else if (result + U <= L) "符合"
  else                      "灰色地帶（需複驗/加測）"
}
judge(11.5, 1.0, 10)   #> "不符合"
judge( 9.6, 1.0, 10)   #> "灰色地帶（需複驗/加測）"
judge( 8.8, 1.0, 10)   #> "符合"

# ---- 完整小案例：果汁中鉛 ----
Pb <- 0.085
u <- c(rep=0.006, cal=0.004, blank=0.002, vol=0.0015, rec=0.005)
U_Pb <- 2 * sqrt(sum(u^2))
sprintf("Pb = (%.3f ± %.3f) mg/L (k=2)", Pb, U_Pb)
#> "Pb = (0.085 ± 0.018) mg/L (k=2)"
judge(Pb, U_Pb, 0.10)  #> 0.085+0.018=0.103 > 0.10 -> 灰色地帶!
R Console輸出 output
[1] 0.26
[1] 0.02374689
[1] 2.776445
[1] 0.2257432
[1] "不符合"
[1] "灰色地帶（需複驗/加測）"
[1] "符合"
[1] "Pb = (0.085 ± 0.018) mg/L (k=2)"
[1] "灰色地帶（需複驗/加測）"

📊 Excel 也會算：合成與擴展不確定度

📊 沒有 R 也能動手

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兩條黃金規則在 Excel 直接落地，SUMSQ（平方和）是主角：
模型Excel 公式說明
Rule 1 加減
y=p−q+r		=SQRT(SUMSQ(up,uq,ur))絕對 u，例 \(\sqrt{(0.13²+0.05²+0.22²)}\)=0.26
Rule 2 乘除
y=op/qr		=y*SQRT(SUMSQ(uo/o,up/p,uq/q,ur/r))用相對 u
相對 u 欄=C2/B2u(x)/x 逐列算
擴展 U=2*uck=2，約 95%
報告格式=TEXT(y,"0.00")&" ± "&TEXT(U,"0.00")「12.30 ± 0.45」
符合性：用 =IF(y+U<上限,"合格",IF(y−U>上限,"不合格","無法判定")) 對照法規限值。