Part 2 量測不確定度／第 10 章（QUAM Example A2 與 A4 完整重現）
實戰案例②滴定 ③HPLC Case Study: NaOH Standardisation & Pesticide Residue by HPLC/GC
教科書的兩個經典案例，從天平到滴定管到 HPLC 一條龍走完。這一章就是你日後寫不確定度報告的「範本」。
🔑 課前暖身
理論都學完了，來看真刀真槍：NaOH 滴定標定與麵包農藥殘留兩個國際教科書案例，
從定義被測量一路做到符合規定的報告格式。看著別人怎麼寫，你就知道自己的報告該長怎樣。
本章新詞先認識：內部驗證＝用自己實驗室的歷史數據估不確定度；回收率偏倚＝方法「收得回來嗎」的系統偏差；中間精密度＝不同天/人/儀器的長期變異。
名詞卡住了？回 Ch0 名詞圖鑑 查白話解釋與比喻。
本章新詞先認識：內部驗證＝用自己實驗室的歷史數據估不確定度；回收率偏倚＝方法「收得回來嗎」的系統偏差；中間精密度＝不同天/人/儀器的長期變異。
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學習目標
- 走完滴定標定的 GUM 四步驟，重現 QUAM Example A2 的每一個數字
- 學會「內部驗證數據法」：HPLC/GC 農藥分析的三大成分（精密度、偏倚、均勻性）
- 能對自己的實驗數據套用這兩套流程
10.1 案例②：NaOH 標定滴定（QUAM Example A2）
情境：以一級標準物 KHP（鄰苯二甲酸氫鉀，純度由證書保證）標定約 0.1 M 的 NaOH， 自動滴定儀以 pH 電極判定終點，滴定體積 VT ≈ 18.6 mL。
Step 1 量測模型
cNaOH = 1000 × mKHP × PKHPMKHP × VT
= 1000 × 0.3888 × 1.0204.2212 × 18.64
= 0.10214 mol/L
其中 m 為 KHP 質量(g)、P 為純度、M 為莫耳質量(g/mol)、VT 為滴定體積(mL)
Step 2 魚骨圖找來源
見第 6 章圖 6-1。乘除模型 → 每個參數以相對不確定度參戰。
Step 3 量化（QUAM Table A2.1/A2.2）
| 成分 | 值 | 標準不確定度 u | 相對 u(x)/x | 評估方式 |
|---|---|---|---|---|
| 重複性 rep | 1.0 | 0.0005 | 0.0005 | 過往滴定的重複變異（合併所有操作） |
| 質量 mKHP | 0.3888 g | 0.00013 g | 0.00033 | 第 7 章天平案例：解析度+校正+重複，皮毛兩次 |
| 純度 PKHP | 1.0 | 0.00029 | 0.00029 | 證書 ±0.0005 → 矩形 0.0005/\(\sqrt{3}\) |
| 莫耳質量 MKHP | 204.2212 g/mol | 0.0038 g/mol | 0.000019 | IUPAC 原子量不確定度表（貢獻極小） |
| 滴定體積 VT | 18.64 mL | 0.013 mL | 0.0007 | 校正+溫度+終點判讀（見下） |
🔬 u(VT) 的解剖——滴定最重要的技術細節
① 滴定管校正：A 級 ±0.01 mL，三角形 → 0.01/\(\sqrt{6}\) = 0.004 mL
② 溫度：實驗室 ±4 ℃，水體積膨脹係數 2.1×10⁻⁴/℃ → 18.64 × 2.1e−4 × 4/\(\sqrt{3}\) = 0.009 mL
③ 終點判讀：pH 曲線轉折與理論當量點的偏差，約 ±0.003 mL（矩形）→ 0.0017 mL
合成：\(\sqrt{(0.004² + 0.009² + 0.0017²)}\) ≈ 0.010 mL；QUAM 保守取 0.013 mL
② 溫度：實驗室 ±4 ℃，水體積膨脹係數 2.1×10⁻⁴/℃ → 18.64 × 2.1e−4 × 4/\(\sqrt{3}\) = 0.009 mL
③ 終點判讀：pH 曲線轉折與理論當量點的偏差，約 ±0.003 mL（矩形）→ 0.0017 mL
合成：\(\sqrt{(0.004² + 0.009² + 0.0017²)}\) ≈ 0.010 mL；QUAM 保守取 0.013 mL
Step 4 合成與報告
uc(c)c = \(\sqrt{(0.0005² + 0.00033² + 0.00029² + 0.000019² + 0.0007²)}\) = 0.00097
uc = 0.10214 × 0.00097 = 0.00010 mol/L 報告：c(NaOH) = (0.10214 ± 0.00020) mol/L（k=2）
uc = 0.10214 × 0.00097 = 0.00010 mol/L 報告：c(NaOH) = (0.10214 ± 0.00020) mol/L（k=2）
# ====== 案例② NaOH 標定滴定 (QUAM Example A2 完整重現) ======
m_KHP <- 0.3888; P_KHP <- 1.0
M_KHP <- 204.2212; V_T <- 18.64
c_NaOH <- 1000 * m_KHP * P_KHP / (M_KHP * V_T)
round(c_NaOH, 5) #> 0.10214 mol/L
# 各成分相對標準不確定度 (QUAM Table A2.1)
rel <- c(rep = 0.0005, m = 0.00013/0.3888, P = 0.00029,
M = 0.0038/204.2212, V = 0.013/18.64)
round(rel, 5)
#> rep m P M V
#> 0.0005 3e-04 3e-04 2e-05 7e-04
rel_uc <- sqrt(sum(rel^2))
uc <- c_NaOH * rel_uc
round(c(rel_uc, uc), 5) #> 0.00097 0.0001 <- 與 QUAM 完全一致
U <- 2 * uc
sprintf("c(NaOH) = (%.5f ± %.5f) mol/L (k=2)", c_NaOH, round(U,5))
#> "c(NaOH) = (0.10214 ± 0.00020) mol/L (k=2)"
# 預算：誰是老大？
pct <- rel^2 / sum(rel^2) * 100
round(sort(pct, decreasing = TRUE), 1)
#> V rep m P M
#> 52.2 26.8 12.0 9.0 0.0
# 改善實驗：讓滴定體積接近 50 mL (KHP 加倍以上)
rel2 <- c(0.0005, 0.00013/(0.3888*2.6), 0.00029,
0.0038/204.2212, 0.013/49)
round(c_NaOH * sqrt(sum(rel2^2)), 6)
#> 0.000066 <- uc 從 0.00010 降到 0.000066 (改善 34%)!
R Console輸出 output
[1] 0.10214
rep m P M V
0.00050 0.00033 0.00029 0.00002 0.00070
[1] 0.00097 0.00010
[1] "c(NaOH) = (0.10214 ± 0.00020) mol/L (k=2)"
V rep m P M
52.2 26.8 12.0 9.0 0.0
[1] 6.6e-05🎯 滴定案例的工程啟示
① VT 貢獻 52%——滴定體積越大、相對誤差越小，把滴定體積設計到接近滴定管滿管程
② 重複性 27%——平行滴定取平均直接受益
③ 莫耳質量幾乎 0%——不必浪費時間糾結原子量，力氣花在刀口上
② 重複性 27%——平行滴定取平均直接受益
③ 莫耳質量幾乎 0%——不必浪費時間糾結原子量，力氣花在刀口上
10.2 案例③：HPLC/GC 農藥殘留分析（QUAM Example A4）
情境：以萃取 + 層析（原文 GC，流程同樣適用 HPLC）測麵包中有機磷農藥殘留。 這個案例示範內部驗證數據法——不用逐項拆儀器，直接用方法驗證時的 精密度、回收率、樣品均勻性數據合成。
Step 1 量測模型
Pop = Iop × cref × VIref × Rec × msample × Fhom [mg/kg]
I=波峰面積、c_ref=標準品濃度、V=萃取液終體積、Rec=回收率、F_hom=均勻性因子
💡 為什麼儀器校正不見了？
訊號比值 Iop/Iref 已抵銷大部分儀器因素（同機、同日、同方法）。
於是主導不確定度的不再是儀器，而是方法的整體表現——
這就是「內部驗證法」的立足點。
Step 3 三大成分（QUAM Table A4.4）
| 成分 | 值 | 相對標準不確定度 | 數據來源 |
|---|---|---|---|
| 精密度 Precision | 1.0 | 0.27 | 不同類型樣品雙重複分析的中間精密度 |
| 偏倚 Bias（回收率） | Rec = 0.9 | 0.043/0.9 = 0.048 | 加標回收實驗：平均回收 90%，其 SD 與顯著性 |
| 均勻性 Homogeneity | 1.0 | 0.20 | 模型估計最壞情境（農藥可能只在麵包表面） |
Step 4 合成
uc(Pop)Pop = \(\sqrt{(0.27² + 0.048² + 0.20²)}\) = 0.34
U = 0.34 × 2 = 0.68 × Pop（k=2） QUAM 原文：U(P_op) = 0.68 × P_op。相對不確定度 34% 是殘留分析的常態
U = 0.34 × 2 = 0.68 × Pop（k=2） QUAM 原文：U(P_op) = 0.68 × P_op。相對不確定度 34% 是殘留分析的常態
數值例：儀器測得 1.00 mg/kg → 回收率修正後 Pop = 1.00/0.9 = 1.11 mg/kg， uc = 0.377，報告 1.11 ± 0.75 mg/kg（k=2）——與 QUAM Table A4.5 一致。
# ====== 案例③ HPLC/GC 辳藥 (QUAM Example A4 重現) ======
rel_prec <- 0.27 # 中間精密度 (雙重複數據)
rel_bias <- 0.043/0.9 # 回收率偏倚
rel_homog <- 0.20 # 樣品均勻性 (最壞情境模型)
rel_uc <- sqrt(rel_prec^2 + rel_bias^2 + rel_homog^2)
round(rel_uc, 2) #> 0.34
# 數值例：儀器測得 1.00 mg/kg
P_raw <- 1.00
P_op <- P_raw / 0.9 # 回收率修正
U_op <- 2 * P_op * rel_uc
sprintf("P_op = %.2f ± %.2f mg/kg (k=2)", P_op, U_op)
#> "P_op = 1.11 ± 0.75 mg/kg (k=2)"
# 變異數占比：精密度 63%、均勻性 35%、偏倚 2%
pct <- c(P=rel_prec^2, H=rel_homog^2, B=rel_bias^2)
round(pct/sum(pct)*100, 1)
#> P H B
#> 63.3 34.7 2.0
# 進階：自己從「雙重複對」算精密度項
dup <- data.frame(a = c(.42,1.13,.27,.88,.55,1.62,.31,.74),
b = c(.39, .97,.30,.71,.60,1.28,.35,.80))
d2 <- with(dup, ((a-b)/((a+b)/2))^2)
sqrt(sum(d2)/(2*nrow(dup))) #> 0.10 (短期；長期中間精密度 0.27 更大)
# 符合性：MRL = 2.0 mg/kg
judge <- function(r,U,L) if (r-U>L) "不符合" else
if (r+U<=L) "符合" else "灰色地帶"
judge(1.11, 0.75, 2.0)
#> "符合" (1.11+0.75=1.86 <= 2.0；若 MRL=1.5 則為灰色地帶)
R Console輸出 output
[1] 0.34 [1] "P_op = 1.11 ± 0.75 mg/kg (k=2)" P H B 63.3 34.7 2.0 [1] 0.1027196 [1] "符合"
🎯 HPLC 案例的工程啟示
① 精密度是老大（63%）：改善方向＝均勻化整條麵包再取樣、穩定萃取流程、增加平行數
② 均勻性是老二（35%）：取樣代表性是殘留分析的地基——QUAM 特別用三種情境模型化它
③ 回收率偏倚只占 2%：回收率平均 90% 需修正，但它的「不確定度」影響不大
④ 相對不確定度 34% 聽起來很大？這就是痕量殘留分析的真實世界，法規限量的設定已考慮此事
② 均勻性是老二（35%）：取樣代表性是殘留分析的地基——QUAM 特別用三種情境模型化它
③ 回收率偏倚只占 2%：回收率平均 90% 需修正，但它的「不確定度」影響不大
④ 相對不確定度 34% 聽起來很大？這就是痕量殘留分析的真實世界，法規限量的設定已考慮此事
📊 Excel 也會算：內部驗證法不確定度 (HPLC/GC)
📊 HPLC 案例的 Excel 實作
對於是否符合法規限值 (MRL)，也可利用 Excel 的
⬇ 下載本章 Excel 活頁簿 數據、公式、白話說明都排好了，打開就能算；改黃色儲存格試試看，最後一張工作表會幫你和 R 的答案對照。
農藥殘留案例中，利用三大變異成分（精密度、偏倚、均勻性）來評估：| 成分 | 相對不確定度 | Excel 函數/公式 |
|---|---|---|
| 精密度 | 0.27 | 輸入 0.27（或從雙重複數據算：=SQRT(SUMSQ(差值比列)/(2*樣本數))） |
| 偏倚 (回收率) | 0.048 | =0.043/0.9 |
| 均勻性 | 0.20 | 輸入 0.20 |
| 相對合成 | — | =SQRT(SUMSQ(上列三格)) |
| U (擴充) | — | =2 * 相對合成 * 測量濃度 |
IF 函數進行判定：=IF(測量值 - U > MRL, "不符合", IF(測量值 + U <= MRL, "符合", "灰色地帶"))
📊 Excel 也會算：滴定法不確定度
📊 沒有 R 也能動手
NaOH 標定是乘除模型 c=1000·m·P/(M·VT)，用相對不確定度合成：
VT 的 u 本身也是三個小項（校正/溫度/終點）的
| 成分 | 相對 u(x)/x | Excel |
|---|---|---|
| 重複性 | 0.0005 | 輸入 |
| 質量 m | 0.00033 | =0.00013/0.3888 |
| 純度 P | 0.00029 | =0.00029/1.0 |
| 莫耳質量 M | 0.000019 | =0.0038/204.2212 |
| 體積 VT | 0.0007 | =0.013/18.64 |
| 相對合成 | — | =SQRT(SUMSQ(上列五格)) |
| uc | — | =0.10214*相對合成 |
SQRT(SUMSQ(...)) 合成——不確定度預算就是這樣一層層疊上去的。