普通化學

General Chemistry

第 6 週:化學計量、限量試劑與產率

莫耳比・限量試劑・百分產率

Stoichiometry, Limiting Reactants and Yield

本週學習目標 Learning Objectives

把平衡反應式讀成莫耳比,完成 mol–mol、mol–mass、mass–mass 三種計算
用兩種方法判斷限量試劑,並算出過量試劑的剩餘量
區分理論產量、實際產量與百分產率,並解釋產率為何小於 100%
能用限量試劑的觀念解釋配方放大失敗與烘焙品的鹼味來源

本週重點反應式讀的是莫耳,不是公克。這一句話是本週所有計算的起點,也是最常被跳過的一步。

第 6 週·食品營養錨點:配方放大 20 倍為什麼失敗? This Week Anchor

大哉問一份家庭配方的蛋糕很成功。中央廚房把每一項材料都乘以 20,烤出來卻有明顯的鹼味,顏色偏黃,口感也不對。
材料比例明明完全沒變,為什麼會失敗?

先猜猜看如果泡打粉裡的酸相對於小蘇打不足,多出來的小蘇打會變成什麼?那個東西嘗起來是什麼味道?(答案在本週最後一張)

本週知識地圖 Roadmap

段落	在問什麼	關鍵詞
PART 1	反應式怎麼換算成重量?	莫耳比・mass–mass
PART 2	誰先用完?	限量試劑・剩餘量
PART 3	為什麼做不到理論值?	三種產率
PART 4	放大配方為什麼會壞?	泡打粉的酸鹼配比

接上一週上週學會判斷「會發生什麼反應」,本週要問「會發生多少」——這是食品配方、加工得率與品質控制的共同語言。

PART 6.1

化學計量基礎

Reaction Stoichiometry

係數 = 莫耳比・mol–mol 計算・mass–mass 計算

化學計量的核心 The Heart of Stoichiometry

定義化學計量 (stoichiometry):利用平衡反應式的係數比 = 莫耳比,計算反應物與生成物之間量的關係。

N₂(g) + 3H₂(g) → 2NH₃(g)

意義:每 1 mol N₂ 消耗 3 mol H₂,生成 2 mol NH₃
係數比是莫耳比,不是質量比(28 g N₂ 不會配 3 g H₂!)

反應式就像食譜 Equations as Recipes

食譜

2 片吐司 + 1 片起司 → 1 份三明治
6 片吐司可做 3 份(吐司:三明治 = 2:1)

反應式

2H₂ + O₂ → 2H₂O
6 mol H₂ 可生成 6 mol H₂O(H₂:H₂O = 2:2 = 1:1)

重點莫耳比可寫成換算因子:例如 (2 mol NH₃ / 3 mol H₂),用因次分析串接計算。

例題 1:mol–mol 計算 Example 1

例題依反應 N₂(g) + 3H₂(g) → 2NH₃(g),0.600 mol N₂ 完全反應時,(a) 需要多少 mol H₂?(b) 可生成多少 mol NH₃?

解:用係數比當換算因子:
(a) 0.600 mol N₂ × (3 mol H₂ / 1 mol N₂) = 1.80 mol H₂
(b) 0.600 mol N₂ × (2 mol NH₃ / 1 mol N₂) = 1.20 mol NH₃

技巧「要求的物質」放分子、「已知的物質」放分母,單位自然相消。

例題 2:mol–mass 計算 Example 2

例題氯酸鉀受熱分解:2KClO₃(s) → 2KCl(s) + 3O₂(g)。2.50 mol KClO₃ 完全分解可產生多少克 O₂?(O₂ 32.00 g/mol)

解:
步驟 1(莫耳比):n_O₂ = 2.50 mol KClO₃ × (3 mol O₂ / 2 mol KClO₃) = 3.75 mol
步驟 2(mol → g):m = 3.75 mol × 32.00 g/mol = 120. g O₂(3 位有效數字)

mass–mass 計算:四步驟 Mass-to-Mass Conversions

① A 的質量 (g)

② A 的莫耳數

③ B 的莫耳數

④ B 的質量 (g)

÷ A 的莫耳質量

× 莫耳比 (B/A)

× B 的莫耳質量

注意質量之間不能直接用係數比換算!一定要「先進莫耳、再出莫耳」— 莫耳比這一步是整條路的橋樑。

例題 3:mass–mass 計算 Example 3

例題葡萄糖完全燃燒:C₆H₁₂O₆ + 6O₂ → 6CO₂ + 6H₂O。燃燒 25.0 g 葡萄糖需要多少克 O₂?(C₆H₁₂O₆ 180.16 g/mol)

解:
① g → mol:25.0 ÷ 180.16 = 0.1388 mol 葡萄糖
② 莫耳比:0.1388 × (6 mol O₂ / 1 mol 葡萄糖) = 0.8326 mol O₂
③ mol → g:0.8326 × 32.00 = 26.6 g O₂
(中間多留一位,最後取 3 位有效數字)

隨堂快問 ①:反應式讀的是莫耳,不是公克 Quick Check 1

個人作答 2 分鐘 → 與鄰座說明你的理由 → 全班表決 → 看解答

1對於 2H₂ + O₂ → 2H₂O,下列敘述何者正確?
A 2 g H₂ 配 1 g O₂B 2 mol H₂ 配 1 mol O₂C 2 L H₂ 配 1 L O₂(任何狀態)D 係數就是質量比

2mass → mass 的四步驟中,哪一步必須用到平衡反應式的係數?
A g A → mol AB mol A → mol BC mol B → g BD 每一步都要

3回到本週錨點:家庭配方「2 顆蛋 + 100 g 麵粉」,工廠要放大 20 倍。(a) 用化學計量的語言說,這裡的「係數比」是什麼?(b) 為什麼實際放大 20 倍常常失敗?什麼東西沒有照比例放大?

解答:

1. B — 平衡係數是莫耳比(也是同溫同壓下的氣體體積比)。選 A 或 D 的同學把係數當質量比 — 這是化學計量整章最致命的錯誤。質量守恆但質量比 ≠ 係數比:2 mol H₂ = 4.03 g、1 mol O₂ = 32.00 g,質量比是 1 : 7.94。選 C 的問題在「任何狀態」四個字:體積比只在同溫同壓的氣體才成立,液態水不算。[M03]

2. B — 只有 mol A → mol B 這一步跨越了「不同物質」,其餘兩步都只是同一物質的質量↔莫耳換算,用莫耳質量即可。這題的用意是:係數比只在一個地方登場。想清楚這件事,就不會在第一步或最後一步亂乘係數。

3. (a) 係數比 = 2 顆蛋 : 100 g 麵粉,放大 20 倍 → 40 顆蛋 : 2.00 kg 麵粉。這部分化學計量完全算得準。
(b) 算不準的是「不隨比例放大的量」:表面積/體積比(體積 ×20,表面積只 ×7.4)→ 傳熱與水分蒸發速率完全不同;還有攪拌均勻度、烤箱受熱、麵糊自重壓縮。重點不是背原因,而是建立一個判斷:化學計量給的是物質量的上限,不保證製程可行。這正是食品加工「配方放大 (scale-up)」要做中試的原因。

PART 6.2

限量試劑

Limiting Reactant

三明治比喻・兩種判斷法・剩餘量計算

比喻:做三明治 The Sandwich Analogy

2 片吐司 + 1 片起司 → 1 份三明治

手上有 10 片吐司與 3 片起司,能做幾份三明治?
10 片吐司「理論上」可做 5 份,但起司只夠做 3 份
→ 只能做 3 份;起司用完了,吐司還剩 10 − 6 = 4 片

重點起司 = 限量試劑(先用完、決定產量);吐司 = 過量試劑(有剩)。

限量試劑與過量試劑 Limiting & Excess Reactants

定義限量試劑 (limiting reactant):最先被消耗完的反應物,決定產物的最大生成量。
過量試劑 (excess reactant):反應結束後仍有剩餘的反應物。

實際反應中,反應物很少恰好按係數比投料
所有化學計量計算必須以限量試劑為基準
「量多的不一定過量」— 要看莫耳數與係數比,不是質量大小

判斷法一:需求量比較 Method 1: Compare Required Amounts

把各反應物質量都換成莫耳數
任選一反應物 A,用莫耳比算出「完全反應需要多少 B」
需要量 > 實際擁有量 → B 是限量試劑
需要量 < 實際擁有量 → B 過量,A 是限量試劑

示範2H₂ + O₂ → 2H₂O;有 5.0 mol H₂ 與 2.0 mol O₂:
5.0 mol H₂ 需 O₂ = 5.0 × (1/2) = 2.5 mol > 2.0 mol → O₂ 是限量試劑

判斷法二:分別計算產物量 Method 2: Compare Product Amounts

假設每一種反應物各自完全反應,分別算出可生成的產物莫耳數
算出產物量較小者對應的反應物,即為限量試劑
產物實際生成量 = 那個較小值

示範同上例:由 H₂:5.0 × (2/2) = 5.0 mol H₂O;由 O₂:2.0 × (2/1) = 4.0 mol H₂O
4.0 < 5.0 → O₂ 限量,實際生成 4.0 mol H₂O

技巧兩法擇一即可;法二可同時得到產物量,考試較省時間。

例題 4:限量試劑(莫耳) Example 4

例題依 2H₂ + O₂ → 2H₂O,以 5.0 mol H₂ 與 2.0 mol O₂ 反應,求反應後 H₂ 的剩餘量。

解:前頁已判斷 O₂ 為限量試劑,以 O₂ 為基準:
消耗的 H₂ = 2.0 mol O₂ × (2 mol H₂ / 1 mol O₂) = 4.0 mol
剩餘 H₂ = 起始 − 消耗 = 5.0 − 4.0 = 1.0 mol
結算表:H₂ 剩 1.0 mol、O₂ 剩 0、生成 H₂O 4.0 mol

例題 5:限量試劑(質量)+ 剩餘量 Example 5

例題2Mg(s) + O₂(g) → 2MgO(s)。以 3.00 g Mg 與 5.00 g O₂ 反應,求 (a) 限量試劑 (b) MgO 生成量 (c) 過量試劑剩餘量。(Mg 24.31、O₂ 32.00、MgO 40.31 g/mol)

解:
(a) n_Mg = 3.00/24.31 = 0.1234 mol;n_O₂ = 5.00/32.00 = 0.1563 mol
0.1234 mol Mg 只需 O₂ 0.0617 mol < 0.1563 mol → Mg 為限量試劑
(b) n_MgO = 0.1234 mol;m = 0.1234 × 40.31 = 4.97 g MgO
(c) O₂ 消耗 0.0617 × 32.00 = 1.97 g → 剩餘 5.00 − 1.97 = 3.03 g

隨堂快問 ②:限量試劑 Quick Check 2

個人作答 2 分鐘 → 與鄰座說明你的理由 → 全班表決 → 看解答

1N₂ + 3H₂ → 2NH₃。投入 1.0 mol N₂ 與 2.0 mol H₂,限量試劑是?
A N₂(莫耳數比較少)B H₂C 兩者恰好完全反應D 無法判斷

2承上題,反應完全後剩下多少 mol N₂?
A 0B 0.33C 0.67D 1.0

3回到本週錨點:酸價的定義是「中和 1 g 油脂所需 KOH 的 mg 數」。(a) 為什麼要除以 1 g 油脂,而不是直接報「用掉幾 mL KOH」?(b) 這個動作和判斷限量試劑時做的事,共同的邏輯是什麼?

解答:

1. B — 比的是 莫耳數 ÷ 係數:N₂ = 1.0/1 = 1.0;H₂ = 2.0/3 = 0.67 → 較小者 H₂ 先用完。選 A 的同學直接比莫耳數大小。係數大的物質消耗得快,所以一定要先除以係數再比。這是期中考失分排行榜的第二名。

2. B — 2.0 mol H₂ 只需要 2.0 × (1/3) = 0.67 mol N₂,故剩 1.0 − 0.67 = 0.33 mol。選 A 的同學把「兩種反應物都會用完」當預設。只有恰好按係數比投料時才會同時用完,那是特例不是通例。

3. (a) 為了讓不同取樣量的結果可以互相比較。直接報 mL 只是一個外延量:取 1 g 油和取 5 g 油,用掉的 KOH 當然不同,兩個數字沒有可比性。除以樣品質量之後,酸價變成強度性質(回想 W1 的密度),才能拿來判斷「這瓶油壞了沒有」。
(b) 共同邏輯是「先歸一化,再比較」。限量試劑:莫耳數 ÷ 係數再比大小;酸價:mg KOH ÷ 樣品質量 再比標準。兩者都是因為「原始數字的基準不同,不能直接比」。認出這個共同結構,比記住兩個公式有用得多。

PART 6.3

反應產率

Reaction Yields

理論產率・實際產率・百分產率

三種產率 Theoretical, Actual, Percent Yield

定義理論產率 (theoretical yield):由限量試劑計算出的最大產物量。
實際產率 (actual yield):實驗中真正得到的產物量。
百分產率 (percent yield) = 實際 ÷ 理論 × 100%。

百分產率 = (實際產率 / 理論產率) × 100%

實際產率只能由實驗測得,無法計算
正常情況下百分產率 ≤ 100%

例題 6:百分產率 Example 6

例題承例題 5:理論上可得 4.97 g MgO,實驗實際收集到 4.50 g。求百分產率。

解:
百分產率 = 實際 ÷ 理論 × 100%
= 4.50 g ÷ 4.97 g × 100% = 90.5%(3 位有效數字)
注意:分子分母單位相同(g 或 mol 皆可),但必須是同一種產物。

為什麼產率小於 100%? Why Less than 100%?

反應不完全(可逆反應達平衡即停)
發生副反應 (side reactions),消耗反應物生成別的產物
分離、純化、轉移過程的損失(過濾、再結晶……)
產物仍溶於溶液中未完全析出

注意若算出百分產率 > 100%,通常代表產物不純或未乾燥(含水分、雜質),或計算用錯了限量試劑。

隨堂快問 ③:產率 Quick Check 3

個人作答 2 分鐘 → 與鄰座說明你的理由 → 全班表決 → 看解答

1某次合成算出百分產率 108%。最可能的原因是?
A 反應進行得特別完全B 產物未乾燥或不純C 限量試劑判斷錯誤D B、C 都有可能

2下列哪一個只能由實驗測得,無法用計算求出?
A 理論產率B 實際產率C 百分產率D 限量試劑

3蛋白質水解理論上可得胺基酸 12.0 g,實際只回收 9.0 g。(a) 百分產率?(b) 列出三個具體的損失原因 — 不可以寫「反應不完全」這種空話。

解答:

1. D — 百分產率不可能真的超過 100%,超過就代表量錯或算錯。選 A 的同學把產率當成「反應有多順利」的分數,以為順利就能超標。理論產率是質量守恆給的上限,突破它只有兩種可能:分子(實際量)被灌水 — 產物含水或含雜質;或分母(理論量)算小了 — 限量試劑挑錯。這也是為什麼實驗課要求「恆重」才能秤。

2. B — 理論產率由限量試劑算得、百分產率由前兩者算得、限量試劑由投料量判斷,只有實際產率必須秤。這題在確認一件事:百分產率是一個「計算值除以量測值」的混合量,它同時繼承了計算的假設與量測的誤差。

3. (a) 9.0/12.0 × 100% = 75.0%。
(b) 可接受的具體答案例如:① 過濾/離心時產物附著在濾紙與器壁;② 減壓濃縮或噴霧乾燥時的熱裂解;③ 部分胺基酸仍溶在母液中未析出;④ 水解條件下發生梅納反應,胺基酸與還原糖結合被消耗掉。評分重點是「說得出在哪一個步驟、用什麼機制損失」。寫「反應不完全」等於沒有回答 — 那是把問題重述一次。

PART 6.4

配方放大與泡打粉的化學

Scaling Up a Recipe

小蘇打與酸的莫耳比・鹼味的來源・加工得率

小蘇打為什麼能讓蛋糕膨 Why Baking Soda Works

2 NaHCO₃ →(Δ) Na₂CO₃ + H₂O + CO₂↑

1.0 g NaHCO₃(M = 84.01)= 11.90 mmol
莫耳比 2 : 1 → CO₂ = 5.95 mmol
25 °C、1 atm 下每莫耳氣體約 24.5 L → 約 146 mL CO₂

但留下了 Na₂CO₃碳酸鈉是鹼,有明顯的鹼味,而且會讓成品偏黃。所以配方裡通常還要加酸(塔塔粉、優格、白脫牛奶)把它中和掉——這就是泡打粉裡除了小蘇打之外那一半的東西。

泡打粉:一個限量試劑問題 Baking Powder as a Limiting-Reactant Problem

泡打粉 = 小蘇打 + 固體酸 + 澱粉(隔離劑)
兩者按莫耳比配好,遇水與加熱反應產生 CO₂
酸不足 → 小蘇打過量 → 剩下 Na₂CO₃ → 鹼味、偏黃
酸過量 → 成品偏酸、氣體提早跑光

所以「配方放大」的關鍵在哪化學計量本身是線性的:每一項乘以 20,莫耳比不變。真正出問題的是沒有一起放大的東西——自製配方常用「一茶匙小蘇打 + 一杯優格」,優格的酸度會隨品牌與批次變動,乘以 20 之後誤差也放大 20 倍,很容易讓酸變成限量試劑。

例題:放大後誰是限量試劑 Example: Scaling Up

某配方用 4.2 g NaHCO₃(M = 84.01)與 9.4 g 塔塔粉(酒石酸氫鉀 KHC₄H₄O₆,M = 188.2),反應莫耳比 1 : 1。誰是限量試劑?剩下多少?

解答:
NaHCO₃:4.2 ÷ 84.01 = 0.050 mol
塔塔粉:9.4 ÷ 188.2 = 0.050 mol → 恰好 1 : 1,兩者同時用完。
若放大 20 倍時塔塔粉只加了 180 g(而不是 188 g):
　NaHCO₃ 1.00 mol、塔塔粉 0.956 mol → 酸是限量試劑
　剩餘 NaHCO₃ = 0.044 mol → 受熱生成 0.022 mol Na₂CO₃(約 2.3 g)→ 嘗得出鹼味。
重點:只差 4%,就足以讓成品出現可察覺的缺陷。放大配方時,誤差也一起放大。

隨堂快問 ④:配方放大與限量試劑 Quick Check 4

個人作答 2 分鐘 → 與鄰座說明你的理由 → 全班表決 → 看解答

1烘焙成品有鹼味、顏色偏黃,最可能的原因是?
A 小蘇打太少B 泡打粉裡的酸相對不足,小蘇打過量C 烤箱溫度太低D 麵粉筋度不夠

2把配方每一項都乘以 20,下列何者不會改變?
A 各成分的莫耳比B 麵糊的表面積 / 體積比C 烤透所需要的時間D 攪拌所需的能量

31.0 g 小蘇打完全分解可產生約 146 mL 的 CO₂。為什麼實際膨脹體積通常小於這個值?請說出兩個理由。

解答:

1. B — 過量的 NaHCO₃ 受熱生成 Na₂CO₃,它是鹼。選 A 方向弄反了:小蘇打太少會膨不起來,不會有鹼味。「有鹼味」是一個限量試劑的診斷訊號——它告訴你哪一邊過量了。

2. A — 化學計量是線性的,等比例放大不改變莫耳比。選 B/C/D 都不是線性的:體積長大時表面積跟不上,熱要傳到中心更久,攪拌能量也不是線性。會失敗的往往不是化學,而是那些沒有一起等比放大的物理量。

3. 氣體逸散與反應不完全 — ① 部分 CO₂ 在麵糊還沒定形前就逸散到空氣中;② 小蘇打不一定完全分解(受溫度、時間、酸的量影響);③ 部分 CO₂ 溶在水相裡沒有形成氣泡。這一題其實就是「為什麼百分產率小於 100%」換一個場景。理論產量是上限,不是預測值——這一句話在食品加工的得率計算上每天都要用。

例題 11:綜合(限量試劑+產率) Example 11

例題N₂(g) + 3H₂(g) → 2NH₃(g)。以 100.0 g N₂ 與 25.0 g H₂ 反應,實際得到 95.0 g NH₃。求百分產率。(N₂ 28.02、H₂ 2.016、NH₃ 17.03 g/mol)

解:
① n_N₂ = 100.0/28.02 = 3.569 mol;n_H₂ = 25.0/2.016 = 12.40 mol
② 3.569 mol N₂ 需 H₂ = 10.71 mol < 12.40 → N₂ 為限量試劑
③ 理論產率:n_NH₃ = 3.569 × 2 = 7.138 mol → 7.138 × 17.03 = 121.6 g
④ 百分產率 = 95.0 ÷ 121.6 × 100% = 78.1%

例題 12:隨堂綜合練習 Example 12

例題大理石與鹽酸反應:CaCO₃(s) + 2HCl(aq) → CaCl₂(aq) + H₂O(l) + CO₂(g)。以 10.0 g CaCO₃ 與 0.150 mol HCl 反應,最多可產生多少克 CO₂?(CaCO₃ 100.09、CO₂ 44.01 g/mol)

解:
① n_CaCO₃ = 10.0/100.09 = 0.0999 mol
② 0.0999 mol CaCO₃ 需 HCl = 0.200 mol > 0.150 mol → HCl 為限量試劑
③ n_CO₂ = 0.150 × (1/2) = 0.0750 mol
④ m = 0.0750 × 44.01 = 3.30 g CO₂

常見錯誤提醒 Common Pitfalls

直接用質量比當係數比 — 一定要先換成莫耳
用「量較多」的反應物當過量試劑 — 應比較「莫耳數 ÷ 係數」
忘了以限量試劑計算理論產率
百分產率把實際與理論寫顛倒(> 100% 要警覺)
滴定忘記酸鹼莫耳比(H₂SO₄ : NaOH = 1 : 2)
n = M × V 時體積忘記換成 L

回到本週的錨點 Anchor Answered

第 6 週開場問的是:配方放大 20 倍為什麼失敗?

用這一週的化學回答

化學計量是線性的:每一項乘以 20,莫耳比完全不變,這一部分不會出錯。
問題出在限量試劑:自製配方的酸(優格、塔塔粉)含量本來就有變異,放大 20 倍時誤差也放大 20 倍,很容易讓酸不足。
酸一旦不足,過量的小蘇打受熱生成 Na₂CO₃ —— 它是鹼,所以「先猜猜看」的答案是鹼味,同時讓成品偏黃。
另外,沒有跟著等比放大的物理量(表面積/體積比、熱傳、攪拌)也會一起出問題——但那不是化學計量的錯,是因為只有莫耳比是線性的。

這個情境幫你理解的化學是化學計量把「配方」翻譯成莫耳,於是「多少」變成可以驗算的量。而限量試劑告訴你:決定產量的永遠是先用完的那一個——這在配方設計、加工得率、營養強化劑的添加上是同一個判斷。

接下來在哪裡會再用到:食品加工配方設計與加工得率　食品化學膨脹劑與酸鹼配比　分析化學定量分析的化學計量基礎

本週重點總結 Summary

反應式的係數是莫耳比,不是質量比——先換成莫耳再說
mass–mass 四步驟:g → mol → (莫耳比) → mol → g
限量試劑:把每個反應物的莫耳數除以係數,最小的那個就是
過量試劑的剩餘量 = 起始莫耳 − 實際反應掉的莫耳
百分產率 = 實際 ÷ 理論 × 100%,永遠 ≤ 100%
產率小於 100% 的原因:副反應、逸散、轉移損失、反應未完全
只有莫耳比是線性的;放大配方時誤差也一起放大

帶走一句話決定產量的是先用完的那一個——不是量最多的那一個。

重要名詞中英對照 Key Terms

中文	English	中文	English
化學計量	stoichiometry	滴定	titration
限量試劑	limiting reactant	當量點	equivalence point
過量試劑	excess reactant	終點	endpoint
理論產率	theoretical yield	指示劑	indicator
實際產率	actual yield	滴定管	burette
百分產率	percent yield	重量分析	gravimetric analysis

課後練習與下週預告 Homework and Next Week

課後練習① mass–mass 與限量試劑習題各三題。
② 找一份家庭烘焙配方,查出小蘇打與酸性成分的量,估算莫耳比是否接近 1 : 1。
③ 查一項食品加工的實際得率(如榨油、製糖),與理論產量比較並解釋差距。

下週:滴定與定量分析一瓶開過三個月的油,「壞了」沒有?
本週把配方變成莫耳,下週要用同一套計算去量一個未知的東西:酸價、過氧化價,以及為什麼標準溶液的濃度總是 0.1020 M 這種數字。