單因子變異數分析與事後比較 One-way ANOVA & Post-hoc Comparisons

你用甲醇、乙醇、丙酮三種溶劑各萃取 5 次總多酚，老闆只問一句：「哪種溶劑比較好？」三組數據、兩兩比要比三次——直接做三次 t 檢定可以嗎？這一章告訴你為什麼不行，以及正確的做法。

16.1 開場情境：三種溶劑，哪個萃取得多？

同一批乾燥茶葉粉末，分別用甲醇、乙醇、丙酮（皆為 70% 水溶液）萃取，每種溶劑獨立秤樣、獨立萃取 5 次，以 Folin–Ciocalteu 法測總多酚（mg GAE/g）：

# --- 建立資料：一欄是「組別」(factor)，一欄是「量測值」---
solvent <- factor(rep(c("Methanol", "Ethanol", "Acetone"), each = 5),
                  levels = c("Methanol", "Ethanol", "Acetone"))
tpc <- c(12.4, 13.1, 12.8, 11.9, 12.6,     # 甲醇
         13.0, 12.2, 13.5, 12.9, 13.3,     # 乙醇
         14.8, 15.4, 14.5, 15.1, 15.6)     # 丙酮
dat <- data.frame(solvent, tpc)

grp_mean <- tapply(tpc, solvent, mean)     # 各組平均
grp_sd   <- tapply(tpc, solvent, sd)       # 各組標準差
round(rbind(mean = grp_mean, sd = grp_sd), 3)
mean(tpc)                                  # 總平均 (grand mean)

     Methanol Ethanol Acetone
mean   12.560  12.980  15.080
sd      0.451   0.497   0.444
[1] 13.54

圖 16-1 先畫圖再檢定：丙酮明顯較高；甲醇與乙醇的數據點大幅重疊。菱形是組平均，虛線是總平均 13.54。（a、b 字母在 16.5 節說明）

肉眼看：丙酮「應該」比較高，甲醇和乙醇「好像」差不多。但「應該」「好像」不能寫進報告——我們需要一個檢定。

16.2 為什麼不能做三次 t 檢定？

三組兩兩比較要做 \(\binom{3}{2}=3\) 次 t 檢定。每一次都有 α = 0.05 的機率「明明沒差卻判成有差」（型一錯誤、假警報）。 做 m 次獨立檢定，至少出現一次假警報的機率是：

就像買樂透：一張中獎機率很低，但買越多張，「至少中一張」的機率就越高——只是這裡中的是「錯誤結論」。 別只相信公式，用模擬親眼看：讓三組數據其實都來自同一個母體（H₀ 為真），重複 2000 次實驗，數一數兩種做法各喊了幾次「有差異」。

k_pairs <- choose(3, 2)                    # 3 組 -> 3 對
1 - 0.95^k_pairs                           # 若三次檢定互相獨立的理論值
round(1 - 0.95^choose(3:6, 2), 3)          # 3,4,5,6 組時的理論值

set.seed(2026)
B <- 2000                                  # 重複 2000 次「H0 為真」的實驗
g3 <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 5))
any_t   <- logical(B)                      # 三次 t 檢定「任一」顯著？
aov_sig <- logical(B)                      # ANOVA 顯著？
for (b in 1:B) {
  y <- rnorm(15, mean = 13, sd = 0.5)      # 三組其實來自同一個母體
  p_ab <- t.test(y[g3 == "A"], y[g3 == "B"])$p.value
  p_ac <- t.test(y[g3 == "A"], y[g3 == "C"])$p.value
  p_bc <- t.test(y[g3 == "B"], y[g3 == "C"])$p.value
  any_t[b]   <- min(p_ab, p_ac, p_bc) < 0.05
  aov_sig[b] <- summary(aov(y ~ g3))[[1]][["Pr(>F)"]][1] < 0.05
}
c(three_t_tests = mean(any_t), anova = mean(aov_sig))

[1] 0.142625
[1] 0.143 0.265 0.401 0.537
three_t_tests         anova
       0.1165        0.0520 

明明三組完全沒差，「三次 t 檢定」卻有 11.7% 的機率喊出至少一個「顯著」，是名目 5% 的兩倍多；ANOVA 只做一次檢定，假警報率守在 5.2%。 （模擬值 11.7% 略低於理論值 14.3%，是因為三次 t 檢定共用同樣的組、彼此不獨立；公式是「獨立」時的近似，但膨脹的結論不變。）

16.3 ANOVA 的核心想法：把變異拆成兩份

ANOVA 的假說：

想法很直覺。15 筆數據之所以不一樣，原因只有兩種：

圖 16-2 細線＝組內變異（每筆到自己組平均）；紅色粗箭頭＝組間變異（組平均到總平均）。丙酮的紅箭頭遠比任何一條細線長 → 組間變異遠大於隨機誤差。

如果溶劑其實沒有效應（H₀ 為真），組平均之間的差異就只是隨機誤差造成的，那麼「用組間估出來的變異數」和「用組內估出來的變異數」應該差不多大，兩者相除 ≈ 1。 如果溶劑真的有效應，組間那一份會被撐大，比值遠大於 1：

先一步一步手算，知道每個數字怎麼來：

N <- length(tpc)                           # 總樣本數 15
k <- nlevels(solvent)                      # 組數 3
n_i <- tapply(tpc, solvent, length)        # 各組 n
grand <- mean(tpc)

SS_between <- sum(n_i * (grp_mean - grand)^2)          # 組間：各組平均離總平均多遠
SS_within  <- sum((tpc - ave(tpc, solvent))^2)         # 組內：每筆離自己組平均多遠
SS_total   <- sum((tpc - grand)^2)                     # 總變異
c(SS_between = SS_between, SS_within = SS_within,
  sum = SS_between + SS_within, SS_total = SS_total)

df_between <- k - 1                        # 2
df_within  <- N - k                        # 12
MS_between <- SS_between / df_between
MS_within  <- SS_within  / df_within
F_value <- MS_between / MS_within
p_value <- pf(F_value, df_between, df_within, lower.tail = FALSE)
round(c(MS_between = MS_between, MS_within = MS_within, F = F_value), 4)
p_value
sqrt(MS_within)                            # 合併標準差 (pooled SD)：方法的組內重複性

SS_between  SS_within        sum   SS_total
    18.228      2.588     20.816     20.816
MS_between  MS_within          F
    9.1140     0.2157    42.2597
[1] 3.693193e-06
[1] 0.4643993

驗證了 18.228 + 2.588 = 20.816：總變異被完整拆成兩份。組間均方 9.114 是組內均方 0.2157 的 42 倍， 若 H₀ 為真，出現這麼大 F 的機率只有 3.7×10⁻⁶。 順帶一提，\(\sqrt{MS_{within}}\) = 0.46 mg GAE/g 就是三組合併的重複性標準差，和表中各組 SD（0.44–0.50）一致。

16.4 一行指令 aov()，與 ANOVA 表怎麼讀

fit <- aov(tpc ~ solvent, data = dat)      # 讀作「tpc 由 solvent 解釋」
summary(fit)
qf(0.95, df_between, df_within)            # F 臨界值 (alpha = 0.05)

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
solvent      2 18.228   9.114   42.26 3.69e-06 ***
Residuals   12  2.588   0.216
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
[1] 3.885294

和手算完全一致。這張表每一欄的意思：

結論：F(2, 12) = 42.26 遠大於臨界值 3.89，p < 0.001 → 拒絕 H₀，三種溶劑的平均總多酚不全相等。 但到這裡為止，我們只知道「至少有一組不同」，還不知道是誰。

16.5 事後比較：到底誰跟誰不同？

(1) Tukey HSD：最常用的「所有兩兩比較」

Tukey 法把「所有兩兩比較」當成一整個家族，保證整個家族的假警報率仍是 5%（family-wise），直接解決 16.2 節的膨脹問題。

tk <- TukeyHSD(fit)
tk
qtukey(0.95, k, df_within) * sqrt(MS_within / 5)   # HSD：兩組平均至少要差這麼多才顯著
plot(tk)                                   # 畫出三個差值的 95% 信賴區間

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = tpc ~ solvent, data = dat)

$solvent
                 diff        lwr      upr     p adj
Ethanol-Methanol 0.42 -0.3635832 1.203583 0.3572998
Acetone-Methanol 2.52  1.7364168 3.303583 0.0000051
Acetone-Ethanol  2.10  1.3164168 2.883583 0.0000322

[1] 0.7835832

怎麼讀：diff = 前者平均 − 後者平均；lwr/upr = 差值的 95% 信賴區間；p adj = 已校正多重比較的 p 值。 判讀口訣：區間不含 0（或 p adj < 0.05）→ 這一對有顯著差異。

• 丙酮 − 甲醇 = 2.52（1.74 ~ 3.30），p adj < 0.001 → 顯著
• 丙酮 − 乙醇 = 2.10（1.32 ~ 2.88），p adj < 0.001 → 顯著
• 乙醇 − 甲醇 = 0.42（−0.36 ~ 1.20），p adj = 0.36 → 不顯著（區間跨過 0）

最後一行的 HSD = 0.78 是「最小顯著差距」：各組 n 相同時，任兩組平均要差超過 0.78 mg GAE/g 才算顯著（0.42 < 0.78，所以乙醇與甲醇分不出來）。

圖 16-3 plot(TukeyHSD(fit)) 的重繪版：灰色區間跨過 0（虛線）＝不顯著；紅色區間完全在 0 的右邊＝顯著。

(2) pairwise.t.test() + Holm 校正

另一條路：照樣做兩兩 t 檢定，但把 p 值調大來補償多重比較。Holm 法比傳統 Bonferroni（p × 次數）不那麼保守，是通用的好選擇。

pairwise.t.test(tpc, solvent, p.adjust.method = "holm")

	Pairwise comparisons using t tests with pooled SD

data:  tpc and solvent

        Methanol Ethanol
Ethanol 0.18     -
Acetone 5.5e-06  2.3e-05

P value adjustment method: holm 

表中每格是該對比較的校正後 p 值：乙醇–甲醇 0.18（不顯著），丙酮對另兩者都 < 0.001。結論與 Tukey 相同。 兩種方法 p 值不會一模一樣（校正原理不同），事前選定一種、寫進報告即可，不要兩種都跑再挑喜歡的。

(3) 論文常見的字母標示：a、b、ab

食品期刊的表格常在平均值後面標小寫字母，註腳寫「同欄不同字母表示有顯著差異（Tukey, p < 0.05）」。規則只有一條：

手動推導三步驟（各組 n 相同時適用）：① 把平均由大到小排好；② 從最大的開始，往下找「彼此全部不顯著」的最長一串，這一串發同一個字母；③ 換下一串發下一個字母，一組若同時屬於兩串，就拿到兩個字母。

主範例：丙酮 15.08 ｜ 乙醇 12.98、甲醇 12.56。丙酮和誰都顯著不同 → 自己一串「a」；乙醇和甲醇彼此不顯著 → 同一串「b」。結果：丙酮 a、乙醇 b、甲醇 b（見圖 16-1）。

把三步驟寫成一個小函數（只用 base R），順便用第三組資料看看 ab 是怎麼出現的——乾燥溫度（40／50／60 °C）對維生素 C 保留率（%）：

cld_simple <- function(fit_aov, alpha = 0.05) {
  fac <- names(fit_aov$xlevels)[1]
  y   <- fit_aov$model[[1]]; g <- fit_aov$model[[2]]
  m   <- sort(tapply(y, g, mean), decreasing = TRUE)      # (1) 由大到小
  nm  <- names(m); kk <- length(nm)
  tkp <- TukeyHSD(fit_aov)[[fac]][, "p adj"]
  ns  <- matrix(TRUE, kk, kk, dimnames = list(nm, nm))   # TRUE = 不顯著
  for (pair in names(tkp)) {
    ab <- strsplit(pair, "-")[[1]]
    ns[ab[1], ab[2]] <- ns[ab[2], ab[1]] <- tkp[[pair]] >= alpha
  }
  runs <- list()
  for (i in 1:kk) {                        # (2) 從第 i 組往下延伸，直到出現顯著差異
    j <- i
    while (j < kk && all(ns[i:(j + 1), i:(j + 1)])) j <- j + 1
    runs[[length(runs) + 1]] <- i:j
  }
  keep <- sapply(seq_along(runs), function(a)             # 丟掉被別的區段完全包住的
    !any(sapply(seq_along(runs), function(b)
      b != a && all(runs[[a]] %in% runs[[b]]) &&
        length(runs[[b]]) > length(runs[[a]]))))
  runs <- runs[keep]
  lab <- setNames(rep("", kk), nm)
  for (r in seq_along(runs)) lab[runs[[r]]] <- paste0(lab[runs[[r]]], letters[r])  # (3) 發字母
  data.frame(mean = round(as.numeric(m), 2), letter = lab)
}
cld_simple(fit)

# 第三組小資料：乾燥溫度對維生素 C 保留率 (%)，示範 "ab"
temp <- factor(rep(c("T40", "T50", "T60"), each = 5))
vitc <- c(86.9, 84.2, 87.6, 85.1, 86.3,    # 40 °C
          85.4, 82.8, 86.0, 83.5, 84.9,    # 50 °C
          83.6, 81.4, 84.3, 82.0, 83.1)    # 60 °C
fit_vc <- aov(vitc ~ temp)
summary(fit_vc)
round(TukeyHSD(fit_vc)$temp, 4)
cld_simple(fit_vc)

          mean letter
Acetone  15.08      a
Ethanol  12.98      b
Methanol 12.56      b
            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)
temp         2  24.66   12.33   7.339 0.00828 **
Residuals   12  20.16    1.68
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
         diff     lwr     upr  p adj
T50-T40 -1.50 -3.6872  0.6872 0.2018
T60-T40 -3.14 -5.3272 -0.9528 0.0063
T60-T50 -1.64 -3.8272  0.5472 0.1545
     mean letter
T40 86.02      a
T50 84.52     ab
T60 82.88      b

維生素 C 的例子：ANOVA 顯著（p = 0.008），但 Tukey 只有 40 °C vs 60 °C 這一對顯著（p adj = 0.006）。 50 °C 夾在中間，和 40 °C 分不出來（共用 a）、和 60 °C 也分不出來（共用 b），所以拿到 ab。

16.6 前提檢查：ANOVA 的三個假設

① 獨立性與「偽重複」（pseudoreplication）

② 常態性：檢查「殘差」，不是原始 y

ANOVA 的模型是「量測值 = 該組平均 + 隨機誤差」，常態假設講的是隨機誤差，也就是殘差。 如果把三組原始數據混在一起檢查，當各組平均本來就不同時，混合起來自然是「多峰」而不像一個鐘形——那不是違反假設，那正是你想證明的事！

res <- residuals(fit)                      # 殘差 = 每筆 - 自己那組的平均
shapiro.test(res)                          # 正確：對殘差
shapiro.test(tpc)                          # 錯誤示範：對原始 y（三組平均不同 -> 本來就不像一個鐘形）
qqnorm(res); qqline(res)                   # 殘差 QQ 圖：點大致沿直線 = OK

# 把 n 加大到每組 20 就看得很清楚：每一組都是「完美常態」，只是平均不同
set.seed(61)
g_demo <- factor(rep(c("G1", "G2", "G3"), each = 20))
y_demo <- rnorm(60, mean = rep(c(12.5, 13.0, 15.0), each = 20), sd = 0.45)
c(raw_y     = shapiro.test(y_demo)$p.value,                      # 對原始 y：被判「非常態」
  residuals = shapiro.test(residuals(aov(y_demo ~ g_demo)))$p.value)  # 對殘差：沒問題

	Shapiro-Wilk normality test

data:  res
W = 0.92945, p-value = 0.2678


	Shapiro-Wilk normality test

data:  tpc
W = 0.90742, p-value = 0.1236

       raw_y    residuals
0.0008120148 0.3144730629 

主範例的殘差 Shapiro p = 0.27，沒有偏離常態的證據。對原始 y 檢查時 W 已經變差（0.929 → 0.907），只是 n = 15 太小還沒跨過 0.05； 模擬資料（每組 n = 20、每組都是貨真價實的常態）就很清楚：對原始 y 檢查 p = 0.0008，會誤判成「非常態」；對殘差檢查 p = 0.31，才是正確答案。

圖 16-4 左：對原始 y 畫 QQ 圖，丙酮組（橘）整群跳開，呈現階梯狀——那是「組平均不同」，不是「非常態」。右：對殘差畫，三種顏色混在一起、大致沿直線。

第二個陷阱：n 很小時，Shapiro「不顯著」幾乎沒有資訊量。下面讓資料明明來自右偏的指數分布，看 Shapiro 有多少機率抓得到：

set.seed(16)
shapiro_power <- function(n, B = 2000)     # 資料明明是右偏的指數分布
  mean(replicate(B, shapiro.test(rexp(n))$p.value < 0.05))
round(sapply(c(n3 = 3, n5 = 5, n15 = 15, n50 = 50), shapiro_power), 3)

   n3    n5   n15   n50
0.078 0.158 0.679 1.000 

n = 3 時只有 7.8% 的機率偵測到（幾乎等於亂猜的 5%），n = 5 也只有 16%。所以「每組 n = 3，Shapiro 都不顯著，所以是常態」是無效論證——檢定力太低，什麼分布都會「不顯著」（回想 Ch15 的檢定力）。 這也是為什麼要把所有組的殘差合起來檢查（本例 15 筆），並且以 QQ 圖和對量測原理的了解為主、檢定為輔。

③ 等變異：Bartlett 與手刻 Brown–Forsythe

先看各組 SD：0.45、0.50、0.44，幾乎一樣。粗略經驗法則：最大 SD／最小 SD 小於約 2，且各組 n 相同，通常可以放心。正式檢定：

bartlett.test(tpc ~ solvent, data = dat)
# Brown-Forsythe (Levene 的中位數版)：對「離組中位數的絕對距離」再做一次 ANOVA
z <- abs(tpc - ave(tpc, solvent, FUN = median))
summary(aov(z ~ solvent))

	Bartlett test of homogeneity of variances

data:  tpc by solvent
Bartlett's K-squared = 0.055454, df = 2, p-value = 0.9727

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
solvent      2 0.0013 0.00067   0.009  0.991
Residuals   12 0.9320 0.07767               

bartlett.test 的 H₀ 是「各組變異數相等」，p = 0.97 → 沒有變異不等的證據。 Bartlett 的缺點是對非常態很敏感（資料稍微偏態就容易誤報）。較穩健的 Levene／Brown–Forsythe 檢定 base R 沒有內建，但原理很簡單： 算出每筆數據「離自己組中位數的絕對距離」，如果某組比較散，它的距離就普遍比較大——於是對這些距離再做一次 ANOVA 即可。本例 p = 0.99，結論相同。

16.7 前提不成立怎麼辦？Welch ANOVA 與 Kruskal–Wallis

第二組資料：抽驗市售 4 個品牌醬油的總氮（g/100 mL，凱氏法），每個品牌買 6 個不同批號。A、B 是大廠，批次間非常穩定；C、D 是小型釀造廠，批次差異很大。

brand <- factor(rep(c("A", "B", "C", "D"), each = 6))
tn <- c(1.42, 1.45, 1.43, 1.46, 1.44, 1.41,    # A 大廠，批次很穩
        1.52, 1.50, 1.55, 1.51, 1.53, 1.49,    # B 大廠，批次很穩
        1.38, 1.62, 1.25, 1.71, 1.49, 1.30,    # C 小廠，批次差異大
        1.60, 1.33, 1.78, 1.41, 1.69, 1.22)    # D 小廠，批次差異大
round(rbind(mean = tapply(tn, brand, mean), sd = tapply(tn, brand, sd)), 3)

bartlett.test(tn ~ brand)                              # 等變異？
summary(aov(abs(tn - ave(tn, brand, FUN = median)) ~ brand))   # Brown-Forsythe

         A     B     C     D
mean 1.435 1.517 1.458 1.505
sd   0.019 0.022 0.182 0.219

	Bartlett test of homogeneity of variances

data:  tn by brand
Bartlett's K-squared = 30.073, df = 3, p-value = 1.332e-06

            Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
brand        3 0.14055 0.04685   13.05 6.02e-05 ***
Residuals   20 0.07182 0.00359                     

SD 從 0.019 到 0.219，差了超過 10 倍；Bartlett 與 Brown–Forsythe 都強烈拒絕「等變異」。現在用三種方法分析同一份資料：

summary(aov(tn ~ brand))                   # (1) 傳統 ANOVA（假設等變異）
oneway.test(tn ~ brand)                    # (2) Welch ANOVA（不假設等變異）
kruskal.test(tn ~ brand)                   # (3) Kruskal-Wallis（以等級為基礎）
pairwise.t.test(tn, brand, p.adjust.method = "holm", pool.sd = FALSE)  # Welch 版事後比較

            Df Sum Sq  Mean Sq F value Pr(>F)
brand        3 0.0267 0.008915   0.436   0.73
Residuals   20 0.4089 0.020446

	One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  tn and brand
F = 14.464, num df = 3, denom df = 10, p-value = 0.000573


	Kruskal-Wallis rank sum test

data:  tn by brand
Kruskal-Wallis chi-squared = 3.1928, df = 3, p-value = 0.3628


	Pairwise comparisons using t tests with non-pooled SD

data:  tn and brand

  A       B       C
B 0.00025 -       -
C 1.00000 1.00000 -
D 1.00000 1.00000 1.00000

P value adjustment method: holm 

三種方法、兩種相反的結論。事後比較（Welch 版、Holm 校正）指出差異來自 A vs B（1.435 vs 1.517，p = 0.00025）；C、D 因為自己太不穩定，和誰都分不出來。

這個例子還有一個食品分析上的提醒：對品管來說，「C、D 的批次變異是 A、B 的 10 倍」本身可能就是比平均值更重要的發現。

16.8 效果量 η² 與「統計顯著 vs 實務重要」

p 值只回答「差異是不是真的」，沒有回答「差異有多大」。ANOVA 最簡單的效果量是 η²（eta squared）：

再看一個反例：假設有人很勤勞，三種萃取條件各做了 100 次，而真實平均只差 0.1–0.2 mg GAE/g：

eta2 <- SS_between / SS_total
round(eta2, 3)

# 大樣本示範：真實差異最多只有 0.2 mg GAE/g，但每組 n = 100
set.seed(8)
g_big <- factor(rep(c("S1", "S2", "S3"), each = 100))
y_big <- rnorm(300, mean = rep(c(12.6, 12.8, 12.7), each = 100), sd = 0.45)
tab_big <- summary(aov(y_big ~ g_big))[[1]]
tab_big
round(tapply(y_big, g_big, mean), 2)
round(tab_big[["Sum Sq"]][1] / sum(tab_big[["Sum Sq"]]), 3)    # eta^2

[1] 0.876
             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
g_big         2  3.003 1.50142  7.4039 0.000728 ***
Residuals   297 60.228 0.20279
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
   S1    S2    S3
12.56 12.80 12.64
[1] 0.047

p = 0.0007，三顆星，統計上非常顯著；但 η² 只有 0.047，最大的平均差也只有 12.80 − 12.56 = 0.24 mg GAE/g。 這個差異重不重要，統計回答不了，要拿專業的尺來量：

16.9 報告怎麼寫：一段可以直接模仿的範例

檢查清單：① F 後面兩個自由度都要寫（組間, 組內）；② p 很小時寫 p < 0.001，不要寫 p = 0.000；③ 說明 ± 後面是 SD 還是 SEM、n 是多少；④ 字母一定要有註腳說明方法與 α；⑤ 不顯著的比較也要報告差值與信賴區間。

# 用 R 直接排出報告用的表
lt <- cld_simple(fit)
data.frame(solvent = levels(solvent),
           n = as.integer(n_i),
           mean_sd = sprintf("%.2f ± %.2f", grp_mean, grp_sd),
           letter = lt[levels(solvent), "letter"])

   solvent n      mean_sd letter
1 Methanol 5 12.56 ± 0.45      b
2  Ethanol 5 12.98 ± 0.50      b
3  Acetone 5 15.08 ± 0.44      a

📊 Excel 也會算：單因子變異數分析

pf(42.26, 2, 12, lower.tail = FALSE)       # = F.DIST.RT(42.26, 2, 12)
qf(0.05, 2, 12, lower.tail = FALSE)        # = F.INV.RT(0.05, 2, 12)

[1] 3.693036e-06
[1] 3.885294

16.10 常見迷思總整理

16.11 接下來